一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
“x＞0”是“
”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
若△ABC的三边长a，b，c满足（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C的大小是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
椭圆
=-1（m＜n＜0）的焦点坐标是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3bsinA，则△ABC的面积等于（ ）
A. 
B. 
C. 1 D. 
某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为a，第三年的年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，
]恒成立，则a的最小值是（ ）
A. 0 B. 
C. 
D. 
x，y满足约束条件
，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A. 或
B. 2或 C. 2或 D. 2或1
等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知椭圆E：
的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知数列{an}满足：an=
若对于任意n∈N*都有an＞an+1，则实数b的取值范围（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=
c，则ab的最小值为（ )
A. 56 B. 48 C. 36 D. 28
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知数列1，
，
，
，…的一个通项公式是an=______．
一蜘蛛沿正北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x=______cm．
已知双曲线
的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且
，则点M到x轴的距离为______．
设正数x，y满足
+
≤a•
恒成立，则a的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知命题P：∀m∈[-1，1]不等式a2-5a-3≥
，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2-a＜0，使p∨q是真命题，￢q是真命题，求实数a的取值范围．
已知{an}，是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-6x+8=0的根．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}的前n项和．
郑州一中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克．问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？
已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B-A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
已知点A（0，-2），椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：当“x＞0”时，
成立，
故“x＞0”是“”的充分条件，
当“”时，x≠0，此时“x＞0”不一定成立
故“x＞0”是“”的不必要条件
综上“x＞0”是“”的充分不必要条件
故选：A．
⇔|x|＞0⇔x≠0⇔x＞0或x＜0，由此给合充要条件的定义，可判断出“x＞0”是“”的充分不必要条件
本题考查的知识点是充要条件的判断，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是解答的关键．
2.【答案】C
【解析】
解：∵（a+b-c）（a+b+c）=ab
∴（a+b）2-c2=ab即a2+b2-c2=-ab
根据余弦定理可知cosC=
=
=-
∴∠C=120°
故选：C．
首先将已知的式子进行化简得出a2+b2-c2=-ab，然后利用余弦定理求出C的大小．
本题考查了余弦定理的运用，解题的关键是利用平方差公式将所给式子进行化简，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】
解：椭圆
=-1（m＜n＜0）的焦点坐标是（±
，0）．
故选：D．
判断椭圆的焦点坐标的位置，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4.【答案】A
【解析】
解：∵在△ABC中，a=3bsinA，
∴根据正弦定理，得sinA=3sinBsinA，
结合sinA为正数，化简得sinB=
．
因此△ABC的面积S=acsinB=×3×=．
故选：A．
根据正弦定理，由a=3bsinA算出sinB=，再利用三角形的面积公式，可得S=acsinB=．
本题给出三角形的边角关系，求三角形的面积．着重考查了利用正弦定理解三角形与三角形的面积计算等知识，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】
解：由题得A（1+a）（1+b）=A（1+x）2⇒（1+a）（1+b）=（1+x）2．
又∵（1+a）（1+b）≤
．
∴1+x≤
=1+
⇒x≤
故选：B．
先利用条件找到方程（1+a）（1+b）=（1+x）2．然后利用基本不等式求可得到答案．
本题考查数列的综合应用以及基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．
6.【答案】C
【解析】
解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，
即有-a≤x+
对于一切x∈（0，]恒成立．
由于y=x+的导数为y′=1-
，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．
则当x=时，y取得最小值且为
，
则有-a
，解得a
．
则a的最小值为-．
故选：C．
由题意可得-a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令-m不大于最小值即可．
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
7.【答案】C
【解析】
解：由题意作出约束条件
，平面区域，
将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，
由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行，
故a=2或-1；
故选：C．
由题意作出已知条件的平面区域，将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】
解：由a3•a6•a18=a1q2•a1q5•a1 q17=（a1 q8）3 =
为常数，所以a9为常数，
则T17=a1•a2…a17
=（a1•a17）（a2•a16）（a3•a15）（a4•a14）（a5 •a13）（a6•a12）•（a7•a11）•（a8•a10）a9=
，
为常数．
故选：C．
利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简a3•a6•a12 =a73 是一个确定的常数，列举出T13的各项，利用
等比数列的性质得到T13 =a713，即可得到T13为常数．
此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，要求学生掌握等比数列的性质，是一道中档题．
9.【答案】C
【解析】
解：∵关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，
∴-2，1是关于x的方程ax2-x+b=0的两个根，
∴
，解得a=-1，b=2，
∴关于x的不等式bx2-x+a≤0即2x2-x-1≤0，
解方程2x2-x-1=0，得x1=-，x2=1，
∴关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为{x|-
}，即[-，1]．
故选：C．
由已知得-2，1是关于x的方程ax2-x+b=0的两个根，从而求出a=-1，b=2，由此能求出关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集．
本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用．
10.【答案】D
【解析】
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得
，
相减得
，
∴
．
∵x1+x2=2，y1+y2=-2，
=
=．
∴
，
化为a2=2b2，又c=3=
，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为
．
故选：D．
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=-2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】
解：∵对于任意的n∈N*都有an＞an+1，∴数列{an}单调递减，可知0＜b＜1．
①当＜b＜1时，n＞8，an=（-b）n+2单调递减，而
（n≤8）单调递减，
∴（-b）×9+2＜b8-7，解得b＞，因此＜b＜1．
②当0＜b＜时，n＞8，an=（-b）n+2单调递增，应舍去．
综上可知：实数b的取值范围是＜b＜1．
故选：A．
对于任意的n∈N*都有an＞an+1，可知：数列{an}单调递减，可得0＜b＜1．再分类讨论即可得出．
本题考查数列递推式，熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键，是中档题．
12.【答案】B
【解析】
解：由正弦定理，有
=2R，又2c•cosB=2a+b，
可得：2sinC•cosB=2sinA+sinB，
由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），
则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，
又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=-，
因为0＜C＜π，得C=
，
则△ABC的面积为S△=absinC=
ab=
c，即c=
ab，
由余弦定理，得c2=a2+b2-2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=
a2b2，
由于：a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，
可得：2ab+ab≤a2b2，即ab≥48，故ab的最小值是48．
故选：B．
由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．
本题考查正、余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
解：∵数列1，
，
，
，…的分母是相应项序号的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列
∴数列1，，，，…的一个通项公式是an=
故答案为：
数列1，，，，…的分母是相应项数的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．
本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
解：由题意可得简图如下
可知∠BAC=75°，∠ACB=45°，∠B=60°，
根据正弦定理可得：
，
∴x=
，
故答案为：．
先画出简图，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案．
本题主要考查正弦定理的应用，关键在于能够画出简图．属基础题．
15.【答案】
【解析】
解：∵点M在双曲线上，∴||
|-|
||=2a=2，|
|=2c=2
又∵
，∴△MF1F2为直角三角形，
∴
=12，∴
=4
设点M到x轴的距离为d，
∵，∴MF1⊥MF2，∴
=|MF1|•|MF2|=|F1F2|•d
∴d=
=
故答案为
先根据双曲线的定义和直角三角形勾股定理计算焦半径之积，再利用等面积法计算点M到x轴的距离即可
本题考查了双曲线的定义及几何意义，特别是焦点三角形问题，解题时要善于总结此类问题的常用解法，提高解题速度
16.【答案】
【解析】
解：因为x，y都为正数，且
+
≤a•
恒成立，
分离参数a得，a≥
，
所以，a≥[]max，
根据基本不等式：
得，
+≤
=
•，
所以，≤，
所以，[]max=，因此，a≥，
故答案为：．
先用分离参数法将问题等价为：a≥[]max，再用基本不等式，求该式的最大值．
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，运用分离参数法，属于中档题．
17.【答案】解：：∀m∈[-1，1]，有
，
若p为真命题，则a2-5a-3≥3，即a≥6或a≤-1；
若q为真命题，则△=（2a）2-4（2-a）＞0，解得a＜-2或a＞1．
由p∨q是真命题，￢q是真命题，得p真q假．
则
，∴-2≤a≤1．
故实数a的取值范围是[-2，-1]．
【解析】
由m的范围得到
，由p为真命题得到a2-5a-3≥3，求得a的范围，再由判别式大于0求得q为真命题的a的范围，结合复合命题的真假判断求解．
本题考查复合命题及其真假，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：（Ⅰ）在递增等差数列{an}中，
∵a2，a4是方程x2-6x+8=0的根，则
，解得
．
∴d=
．
∴an=a2+（n-2）×d=2+n-2=n；
（Ⅱ）∵=
，
∴{}的前n项和：
①，
②，
①-②得：
=1+
．
∴
．
【解析】
（Ⅰ）由题意列式求出a2，a4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入数列{
}，然后由错位相减法求其和．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．
19.【答案】
解：设买甲食品x份，乙食品y份，由题意可得x，y满足
，
花费z=0.55x+0.4y，z在B（1，5）处值最小，
此时花费z=0.55+0.4×5=2.55．
所以学生进餐应对甲、乙食品各买1份5份花费2.55元，能保证足够的营养要求，又花钱最少．
【解析】
利用已知条件列出约束条件的可行域，表示出花费的表达式，利用线性规划的知识求解即可．
本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
20.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R∴（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立
当a2-1=0时，得a=-1，a=1不成立
当a2-1≠0时，
解得
或a＜-1
综上得或a≤-1
（2）当a2-1=0时，得a=1，a=-1不成立
当a2-1≠0时，
解得
综上得
【解析】
（1）因为f（x）的定义域为R，所以对数的真数一定大于0恒成立，讨论二次项系数为0不成立，系数不为0时，得到系数大于0且根的判别式小于0求出a的范围即可；
（2）因为函数值域为R，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a的范围即可．
考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．
21.【答案】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得
=
=
，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B-A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=π-（A++A）=-2A＞0，
∴A∈（0，
），∴sinA+sinC=sinA+sin（-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A
=-2（sinA-
）2+
，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜
，
∴由二次函数可知＜-2（sinA-）2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为（，]
【解析】
（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，
），可得0＜sinA＜
，化简可得sinA+sinC=-2（sinA-）2+
，由二次函数区间的最值可得．
本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知
，得
=又
，
所以a=2=，b2=a2-c2=1，故E的方程
．…．（5分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx-2代入，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，
当△=16（4k2-3）＞0，即
时，
从而
=+
又点O到直线PQ的距离
，所以△OPQ的面积
=
，
设
，则t＞0，
，
当且仅当t=2，k=±
等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x-2或y=-x-2．…（12分）
【解析】
（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx-2代入
，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
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