南京师大附中高三年级模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
锥体的体积公式：V＝3(1)Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．若集合A＝{x∈N∣2≤2x≤8}，B＝{x∣log2x＞1}，则集合
▲________．
2．已知复数 z1＝a＋i，z2＝1－i，其中i是虚数单位，若z2(z1)为纯虚数，则实数
▲ ．
3．在如图所示的茎叶图中，平均数较小的一组数的平均数为 ▲ ．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲________．
甲 乙
8 2 9
9 1 3 3 7
2 5 4 3 5
（第4题） （第5题）
5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则
1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ．
6．设变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，(x＋y＋1≥0，)则目标函数z＝2x＋y的最小值是 ▲ ．
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜2(π))，则φ＝▲________．
（第7题）
8．已知一圆柱的底面直径和高相等，其侧面积是π，则这个圆柱的体积是▲________．
9．设a为实数，若函数 f(x)＝－－a存在零点，则实数a的取值范围是▲________．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1、F2分别是双曲线C：a 2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是右支上一点．若△PFF是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的离心率是▲________．
11．下列四个命题：
① 在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；
② 命题“$x∈R，x－x－1＜0”的否定是“"x∈R，x－x－1＜0”；
③若圆C：x2+y2＝4上恰有三个点到直线l：x＋y＋c＝0的距离为1，则c∈{－1，1}；
④若f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，则a＝－1．
其中是真命题的有▲________.（填上真命题的序号）
12．已知P1、P2是平面内的两点，当 k∈N*时，P2k＋1是P2k关于点P1的对称点，P2k＋2是P2k＋1关于点P2的对称点．若P1P2＝1，则P2016P2017＝ ▲________．
13．在△ABC中，已知∠A＝6(π)，2→(AB)·→(AC)＝3→(BC)2，则△ABC中最大角的余弦值为▲________．
14．设a为实数，记函数f(x)＝ax－ax（x∈[2(1)，1]）的图象为C．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a的取值范围是▲________．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，设内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c．已知4sinB·sin2(2(B)＋4(π))＋cos2B＝1＋．
（1）求角B的值；
（2）若角B为锐角，且a＝4，sinB＝3( )sinC，求c的值．
16．(本小题满分14分)
如图①，在等腰梯形PDCB中，已知PB∥DC ，PB＝3，DC＝1，PD＝2( )，DA⊥PB，垂足为A．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，如图②所示．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）在图②中，已知点M是棱PB的中点，求三棱锥D—ACM的体积．
图① 图②
（第16题）
17．(本小题满分14分)
为了减少城市公交车的碳排放，优化城市环境，某市计划用若干年时间更换现有的10 000辆燃油型公交车．每更换1辆新车，则淘汰1辆燃油型公交车，更换的新车分别为电力型车、混合动力型车这两种车型．今年初（记为第1年）投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型车的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设Sn、Tn分别为前n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
（1）求Sn、Tn；
（2）该市计划从今年起，要实现以下的更新目标：用2年的时间至少更新燃油型公交车总量的12％，用5年的时间至少更新燃油型公交车总量的50％，求a的最小值．
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F1、F2分别是椭圆E： a2(x2)＋ b2(y2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1、F2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB、DC，分别交椭圆E于点A、B和D、C．当α＝4(π) 时，点B坐标为(0，1)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当α变化时，讨论线段AD与BC长度之间的关系，并给出证明；
（3）当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值及对应的α值．
（第18题）
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋2x(1)，g(x)＝lnx．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设k是实数，若关于x的不等式f(x)－2x(1)≤kx在[1，＋∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）是否存在正实数c，使得关于x的方程f(x)＝cg(x)有两个不同的实数根？并说明理由．
20．(本小题满分16分)
设各项均为正数的无穷等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若对于任意的正整数m、n、p，满足m＋n＝2p且m≠n．
（1）证明：am(1)＋an(1)≥ap(2)；
（2）令
，若存在实数c，对任意三个互不相等的正整数i，j，k，都有(i－j)bk＋(j－k)bi＋(k－i)bj＝c成立，求d的值；
（3）判断Sm(1)＋Sn(1)和Sp(2)的大小，并给予证明．
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