专题08圆中证明及计算问题
【例1】（2019·叶县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：连接OD．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
即OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，
∴
，
∴AB•CP＝BD•CD．
（3）∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC＝13，
由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝
，
∵AB•CP＝BD•CD．
∴PC＝
．
【变式1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE=6，BE=8，则EF的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）60；
.
【解析】（1）证明：连接CE，
∵AB=AC，CD=CA，
∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，
∴∠ECD=∠BAE，
同理，∠CED=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠CED=∠AEB，
∴△ABE≌△CDE；
（2）①60；
连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∵∠ABC=60，
∴∠AEC=∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠OAE=∠OCE=60°，
即四边形AOCE是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AOCE是菱形；
②由（1）得：△ABE≌△CDE，
∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，
由∠CED=∠ABC=∠ACB，
得△ECD∽△CFB，
∴
=
，
∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，
∴△AEF∽△BCF，
∴
，
即
，
∴EF=
．
【例2】（2019·省实验一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．
（1）求证：△CDE≌△CBE；
（2）若AB＝4，填空：
①当弧CD的长度是 时，△OBE是等腰三角形；
②当BC＝ 时，四边形OADC为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）
；2．
【解析】（1）证明：延长AD交直线l于点F，
∵AD垂直于直线l，
∴∠AFC＝90°，
∵直线l为⊙O切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝∠OCF＝90°，
∴AD∥OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OC⊥DB，
∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE；
（2）①如图2，连接OD，
由（1）知∠OEB＝90°，
当△OBE是等腰三角形时，
则△OEB为等腰直角三角形，
∴∠BOE＝∠OBE=45°，
∵OD＝OB，OE⊥BD，
∴∠DOC＝∠BOE＝45°，
∵AB＝4，
∴OD＝2，
∴弧CD的长=
=
；
②当四边形OADC为菱形时，
则AD＝DC＝OC＝AO＝2，
由（1）知，BC＝DC，
∴BC＝2.
【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长为（ ）
A. 2π B. π C. 
D. 
【分析】根据弧长公式
，需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧长公式求解即可.
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=180°－∠B=45°，
∴弧AC所对圆心角的度数为：2×45°=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴弧AC的长为：
=π，
故选B.
1.（2018·洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=
，则BD=
②当∠B= 时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=BE，
∴∠DCE=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）3；45°，理由如下：
①∵∠B=30°，AC=
，∠BCA=90°，
∴BC= AC÷tan30°=6，
∴DE=3，
②由∠B=∠A=45°，
OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
又∠ODE=90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC是正方形.
2.（2018·河南第一次大联考）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∵DA：AB=1：2，
∴DA=OC，DO=2OC．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=
，
∴∠CDO=30°，
即∠CDB=30°．
（2）直线EB与⊙O相切．
证明：连接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠ECB=60°，
又∵CD=CE，
∴CB=CE，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，
∴EB是⊙O的切线．
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