2020年中考数学压轴题全揭秘精品专题05 正确分析函数图象

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专题05 正确分析函数图象

【例1】（2019·郑州一中模拟）如图所示，在Rt△ABC中，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此运动过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为（）

A. B. C. D.

【答案】C.

【解析】解：由图2知，AD=CD=2，当x=2+时，CP的长最小，

即此时CP⊥AB，AP=，由勾股定理得：CP=,

由∠A=∠BCP，得：cos∠A= cos∠BCP，

即：,

解得：BC=,

故答案为：C.

【变式1-1】（2019·郑州联考）如图所示，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x＝2，则OB﹣OA的值为　　．

【答案】4．

【解析】解：设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁、x₂是方程ax²+bx+c＝0的两个根，

∵抛物线的对称轴是：x＝2，

∴﹣＝2，

∴＝﹣4，

由图可知：x₁＜0，x₂＞0，

∴OB﹣OA＝x₂﹣（﹣x₁）

＝x₂+x₁

＝﹣＝4，

故答案为：4．

【变式1-2】（2019·郑州实验中学模拟）如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）

图1 图2

A．3 B．5 C．6 D．10

【答案】C.

【解析】解：在y＝x﹣5中，当y＝0时， x＝5；当x＝0，y＝﹣5，

∴直线y＝x﹣5与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，

∴直线l与直线BD平行，

由图2可得，t＝3时，直线l经过点A，

∴AO＝5﹣3×1＝2，即A（﹣2，0），

t＝15时，直线l经过点C，

∴当t＝9时，直线l经过B，D两点，

∴AD＝6，

∴BD＝6，即b＝6，

故答案为：C．

【例2】（2019·开封模拟）如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax²+bx+c经过点(-1，-4)，下列结论：①b²＞4ac；②ax²+bx+c≥-6；③若点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的是__________．

【答案】①②④.

【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有2个公共点，∴b²－4ac＞0，即①正确；

抛物线有最低点，当x=－3时，y有最小值－6，即ax²+bx+c≥-6，故②正确；

抛物线的对称轴为x=－3，点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，∴m<n，故③错误；

由图象知，当x=－1时，y=－4，由对称性可知，当x=－5时，y=－4，故④正确；

综上，答案为：①②④.

【变式2-1】（2018·信阳一模）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）

A．乙前4秒行驶的路程为48米

B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C．两车到第3秒时行驶的路程相同

D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度

【答案】C.

【解析】解：

根据图象可得：

乙前4秒匀速运动，速度为12米/秒，行驶的路程为12×4=48米，故A正确；

0~8秒内甲的速度是一条过原点的直线，甲的速度每秒增加4米/秒，故B正确；

甲的速度与时间的关系为：v=4t，t=3时，v=12，即在t=3时，甲乙速度相等，在0~3秒时甲的速度小于乙的速度，故两车行驶路程不相等，故C错误；

在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D正确；

故答案为：C．

【变式2-2】（2019·南阳模拟）如图，若二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b²﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B．

【解析】解：①∵二次函数y＝ax²+bx+c图象的对称轴为x＝1，且开口向下，

∴当x＝1时，y＝a+b+c，y取最大值，即二次函数的最大值为a+b+c，所以①正确；

②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以②错误；

③图象与x轴有2个交点， b²﹣4ac＞0，所以③错误；

④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），

∴A（3，0），

当y＞0时，﹣1＜x＜3，所以④正确．

所以答案为：B．

【例3】（2019·河南中考仿真卷）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）

A． B．5 C．6 D．

【答案】B.

【解析】解：若点E在BC上时，如图

∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，

∴∠CFE＝∠AEB，

∴△CFE∽△BEA，

∴，

当E在BC中点时，CF有最大值，BE＝CE＝x﹣，

即，

∴BE＝CE＝1，

∴BC＝2，AB＝，

∴矩形ABCD的面积为2×＝5；

故答案为：B．

【变式3-1】（2019·三门峡二模）如图1，则等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为．

【答案】．

【解析】解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠BAP＝∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

设AB＝a，则，

∴y＝

=，

当x＝a时，y取得最大值2，可得：a=8，

即等边三角形的边长为8，

∴S＝×8²＝．

故答案为：．

【变式3-2】（2019·商丘二模）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到BC中点时，△APD的面积为（）