专题05 正确分析函数图象
【例1】(2019·郑州一中模拟)如图所示,在Rt△ABC中,点D为AC的中点,动点P从点D出发,沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B,在此运动过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示,则BC的长为( )
A. B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】解:由图2知,AD=CD=2,当x=2+时,CP的长最小,
即此时CP⊥AB,AP=,由勾股定理得:CP=
,
由∠A=∠BCP,得:cos∠A= cos∠BCP,
即:,
解得:BC=,
故答案为:C.
【变式1-1】(2019·郑州联考)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A,B,若其对称轴为直线x=2,则OB﹣OA的值为 .
【答案】4.
【解析】解:设A(x1,0),B(x2,0),x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,
∵抛物线的对称轴是:x=2,
∴﹣=2,
∴=﹣4,
由图可知:x1<0,x2>0,
∴OB﹣OA=x2﹣(﹣x1)
=x2+x1
=﹣=4,
故答案为:4.
【变式1-2】(2019·郑州实验中学模拟)如图1,正方形ABCD在直角坐标系中,其中AB边在y轴上,其余各边均与坐标轴平行,直线l:y=x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移,在平移的过程中,该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t(秒),m与t的函数图象如图2所示,则图2中b的值为( )
图1 图2
A.3 B.5
C.6
D.10
【答案】C.
【解析】解:在y=x﹣5中,当y=0时, x=5;当x=0,y=﹣5,
∴直线y=x﹣5与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形,
∴直线l与直线BD平行,
由图2可得,t=3时,直线l经过点A,
∴AO=5﹣3×1=2,即A(﹣2,0),
t=15时,直线l经过点C,
∴当t=9时,直线l经过B,D两点,
∴AD=6,
∴BD=6,即b=6
,
故答案为:C.
【例2】(2019·开封模拟)如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4),下列结论:①b2>4ac;②ax2+bx+c≥-6;③若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,其中正确的是__________.
【答案】①②④.
【解析】解:由图象知,抛物线与x轴有2个公共点,∴b2-4ac>0,即①正确;
抛物线有最低点,当x=-3时,y有最小值-6,即ax2+bx+c≥-6,故②正确;
抛物线的对称轴为x=-3,点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,∴m<n,故③错误;
由图象知,当x=-1时,y=-4,由对称性可知,当x=-5时,y=-4,故④正确;
综上,答案为:①②④.
【变式2-1】(2018·信阳一模)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是( )
A.乙前4秒行驶的路程为48米
B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C.两车到第3秒时行驶的路程相同
D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
【答案】C.
【解析】解:
根据图象可得:
乙前4秒匀速运动,速度为12米/秒,行驶的路程为12×4=48米,故A正确;
0~8秒内甲的速度是一条过原点的直线,甲的速度每秒增加4米/秒,故B正确;
甲的速度与时间的关系为:v=4t,t=3时,v=12,即在t=3时,甲乙速度相等,在0~3秒时甲的速度小于乙的速度,故两车行驶路程不相等,故C错误;
在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方,所以甲的速度都大于乙的速度,故D正确;
故答案为:C.
【变式2-2】(2019·南阳模拟)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】解:①∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,且开口向下,
∴当x=1时,y=a+b+c,y取最大值,即二次函数的最大值为a+b+c,所以①正确;
②当x=﹣1时,a﹣b+c=0,所以②错误;
③图象与x轴有2个交点, b2﹣4ac>0,所以③错误;
④∵图象的对称轴为x=1,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),
∴A(3,0),
当y>0时,﹣1<x<3,所以④正确.
所以答案为:B.
【例3】(2019·河南中考仿真卷)如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿AB→BC方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E作FE⊥AE,交CD于F点,设点E运动路程为x,FC=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )
A. B.5 C.6 D.
【答案】B.
【解析】解:若点E在BC上时,如图
∵∠EFC+∠AEB=90°,∠FEC+∠EFC=90°,
∴∠CFE=∠AEB,
∴△CFE∽△BEA,
∴,
当E在BC中点时,CF有最大值,BE=CE=x﹣,
即,
∴BE=CE=1,
∴BC=2,AB=,
∴矩形ABCD的面积为2×=5;
故答案为:B.
【变式3-1】(2019·三门峡二模)如图1,则等边三角形ABC中,点P为BC边上的任意一点,且∠APD=60°,PD交AC于点D,设线段PB的长度为x,CD的长度为y,若y与x的函数关系的大致图象如图2,则等边三角形ABC的面积为 .
【答案】.
【解析】解:由题可得,∠APD=60°,∠ABC=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD,
∴,
设AB=a,则,
∴y=
=,
当x=a时,y取得最大值2,可得:a=8,
即等边三角形的边长为8,
∴S=×82=
.
故答案为:.
【变式3-2】(2019·商丘二模)如图1,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动,设P点的运动时间为t秒,△PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图2所示,当P运动到BC中点时,△APD的面积为( )
图1 图2
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B.
【解析】解:根据题意得:四边形ABCD是梯形,AB+BC=6,CD=4,
AD×CD=8,得:AD=4,
∵AD×AB=2,
∴AB=1,
当P运动到BC中点时,△APD的高为(AB+CD)=
,
∴△PAD的面积=×
×4=5;
所以答案为:B.
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