专题02 折叠与图形存在性
【例1】（2019·郑州外国语模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于G，当△DFG是直角三角形时，则CE= .
【答案】1，
.
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=2
,
由折叠性质知∠F=∠B≠90°，
分两种情况讨论，
（1）当∠FDG=90°时，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD=BD=AD=
，
∴∠B=∠DCE=∠F，
∵∠DCE+∠GEC=∠F+∠FDG，
∴∠GEC=90°，
在Rt△DFG中，tan∠F=
，
∴DG=
，
∴CG=CD－DG=
，
在Rt△CEG中，CE=CG·cos∠GCE=
×
=1；
（2）当∠FGD=90°时，
由（1）知∠B=∠F=∠DCB，
由BD=DF=
，
∴DG=DF·sin∠F=
×
=1，
∴CG=CD－DG=
－1，
∴CE=CG÷cos∠DCB=（
－1）÷
=
，
故答案为：1，
.
【变式1-1】（2018·洛阳三模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=8，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交直线AD于E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF是直角三角形时，AP= .
【答案】
或
.
【解析】解：①如图，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形，
∵在菱形ABCD中，AB=8，
∴CD=AD=AB=8，
在Rt△ADF中，AD=8，∠DAN=45°，DF=AF=4
，
∴AP=2
；
②如图，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形，
在Rt△CBF中，∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=8，
∴BF=CF=4
，
∴AF=AB+BF=8+4
，
∴AP=
AF=4+2
，
故答案为：4或4+2
．
【例2】（2019·河南南阳一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在边BC上，将△DEC沿DE翻折后，点C落在点C’处. 若△ABC’是等腰三角形，则CE的长为 .
【分析】根据△ABC’是等腰三角形，分①AB=AC’=2；②AC’=BC’，即C’落在AB的垂直平分线上时；③AB=BC’=2，三种情况讨论，逐一作出图形求解即可.
【答案】2或
.
【解析】解：分三种情况讨论：
①AB=AC’=2，如图所示，
可得：四边形CDC’E是正方形，即CE=2；
②AC’=BC’，即C’落在AB的垂直平分线MN上时，如图所示，
∴DM=1，C’D=2，
∴∠C’DM=30°，
即得：∠C’DC=60°，∠EDC=30°，
∴CE=CD·tan∠EDC
=2×
=
；
③AB=BC’=2，
此时作出C’的运动轨迹，及以B为圆心，2为半径的圆，发现二者不相交，如图所示，
即此种情况不存在；
综上所述，答案为：2或
.
【变式2-1】（2019·郑州外外国语测试）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、F，如果折叠后△CDF和△BDE均为等腰三角形，那么∠B= .
【答案】45°或30°.
【解析】解：若△CDF是等腰三角形，∵∠C=90°，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
由折叠性质知，∠A=∠FDE，∠B=∠EFD，
若△BDE是等腰三角形，则：
（1）若DE=BD，设∠B=∠DEB=x°，则∠A=∠FDE=90－x，
∵∠CDE=∠B+∠DEB，
∴45+90－x=x+x，解得：x=45，
即∠B=45°，
（2）若DE=BE，
∠CDE=180°－∠BDE=180°－∠B，
∠CDE =45°+∠FDE=45°+∠A=45°+90°－∠B=135°－∠B，
∴不符合题意，
（3）若BD=BE，设∠B=x，则∠BDE=∠BED=90°－
x，
∠CDE =45°+∠A=135°－x，
∠CDE =∠B+∠DEB=90°+
x，
∴135°－x=90°+
x，解得：x=30，
即∠B=30°，
综上所述，∠B的度数为：45°或30°.
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