6.构造等边三角形
1.公园里有一块形如四边形
的草地，测得
米，
，
．请你求出这块草地的面积？
答案：见解析
解析：
延长
交于
，连结
，
∵
，∴
，
∴
是等边三角形，
∵
，∴
，
∴
，
，
∵，∴
，
∴
，
，
∴这块草地的面积为
平方米．
2.如图：已知
,点
在线段
上且
；
是线段
上的动点,分别以
为边在线段的同侧作等边
和等边
,连结
,设的中点为
；当点从点
运动到点
时,则点移动路径的长是____．
答案：3
解析：分别延长
交于点
，易证四边形
为平行四边形，得出为
中点，则
的运行轨迹为三角形
的中位线
．再求出
的长，运用中位线的性质求出的长度即可．
解：如图，分别延长
交于点
．
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
与
互相平分．
为
的中点，
正好为中点，即在
的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为三角形的中位线．
，∴
，即的移动路径长为
3.四边形，有
，，．请你求
____
.
答案：75
解析：
延长交于，连结，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∵，∴，
∴，
∵，∴
，
∴
4.如图，四边形 中，
是对角线，
是等边三角形．
，则 的长为____.
答案：4
解析：首先以为边作等边
，连接
，利用全等三角形的判定得出
，进而求出
的长即可．
解：如图，以为边作等边，连接
，
在
和
中，
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
，
．
又
，
．
在
中，
，
于是
，
．
5.如图所示，在中，
是内两点，
平分
，若
，则
的长度是__.
答案：8
解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出，进而得出
为等边三角形，
为等边三角形，从而得出
的长，进而求出答案．
解：延长
交 于
，延长 交 于
，作
于
，
平分
，
，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
6.如图，六边形
中，每一个内角都是
．求这个六边
形的周长为_____.
答案：116
解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是
，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解：如图，分别作直线
的延长线和反向延长线使它们交于点
．
六边形 的六个角都是120°，
六边形 的每一个外角的度数都是60°．
都是等边三角形．
．
．
六边形的周长为：
．
7.如图，已知
，
平分
，若
，则 的长是_____.
答案：5
解析：在
的延长线上取点 ，使
，连接 ，则可证得
为等边三角形，再结合条件可证明
，可得
，再利用线段的和差可求得
，则可求得 .
解：在 的延长线上取点 ，使 ，连接，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
8.如图，在 中， 是 内两点， 平分
，若
，则
____
．
答案：62
解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出 为等边三角形， 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案．
解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 ，
， 平分 ，
，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，[来源:Zxxk.Com]
，
，
，
，
，
，
，
故答案为62．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
9.如图，过边长为
的等边 的边 上一点 ，作
于
为 延长线上一点，当
时，连
交
边于 ，则的长为____.（注：若答案不是整数，请化为小数）
答案：0.5
解析：过 作
交 于 ，得出等边三角形
，推出
，根据等腰三角形性质求出
，证
，推出
，推出
即可．
解：过 作 交 于．
， 是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
．
10.如图， 中，
平分
是 内两点，且
，若
，则_____.
答案：10
解析：延长 交 于 ，延长 交 于 ，根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出
为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案．
解：延长交 于 ，延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
11.如图，凸四边形 满足条件：
那么 ____
．（填“大于”或“小于”或“等于”）
答案：等于
解析：延长
到点 ，使得
，连接
和 ，根据已知条件和所作辅助线可得 与
均为等边三角形，证明 和
全等即可证明；
解：延长 到点 ，使得 ，连接 和.
∵
[来源:Zxxk.Com]
∴
又
，
与 均为等边三角形
,即
在 和 中
，
∴
∴
∵
．
故答案为：相等
12.已知：如图，等边 中，
是 边上一动点，作
，垂足为 ；作
，垂足为 ；作
，垂足为
．
（1）设
，求
与
之间的函数关系式；
（2）当点 和点 重合时，求线段 的长；
（3）当点 和点不重合，但线段
延长线相交时，求它们与线段 围
成的三角形周长的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）由已知等边 中，可得每个角都是
，由作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ，得三个直角三角形且
都有
的角，据此用 可表示出
，相继表示出
，求出与之间的函数关系式．
（2）由已知可列出方程组结合已知求出 的长．
（3）当线段 相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是
解：（1）
是等边三角形，
．
．
又
．
，
．
，
．
（2）由方程组
得
．
当点和点重合时，，
．
（3）设线段
的延长线相交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
且当点和点 重合时， 最短为
.
且当点和点
重合时， 最长为
．
13.如图，在四边形 中， ，连接 交于点 ．
（1）若
， 为线段 上一点，且
，连接
，求点 到 的距离．
（2）证明：
．
答案：见解析
解析：（1）由条件可以证明
，可以得出
，
，求出
，由勾股定理可以求出
，由 可以求得
的值，在
中由勾股定理可以求出
的值，从而求出 的值，过点 作
于 ，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论．
（2）要证
，延长 到 ，使
，
则求
即可．由
，得 是等边三角形，进而得
又有 ，则
是等边三角形，所以得
，则
．
解：（1）
，
是等边三角形，
．
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，在
中由勾股定理得
过点 作
于点 ．
．
，
．
即点 到 的距离
．
（2）证明：延长 到点 ，使
，连接
， ，
是等边三角形，
，
，
．
，
，
是等边三角形，
，
，
又
，
，
，
即
．
14.已知：如图，在等边三角形
中，点 是 边上的一个动点（ 与
不重合），延长 到 ，使
，连接 交 于点 ．
（1）求证：
；
（2）若 的边长为
，设
，求 与 的函数关系式，写出自变量的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）过 作
交 于 ，则
为等边三角形，得
，而 ，得到
，易证得
，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得 ，得到
，易得
，而
，即有
，即可得到 与 间的函数关系式．
解：（1）证明：过 作 交 于，
，
又∵在等边三角形 中，
，
，
是等边三角形，
，
又
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
，
，
由（1）得 是等边三角形，
，
又
，
，
即
．
15.如图，在四边形 中，
．
（1）求
的度数．
（2）求四边形 的面积．
答案：见解析
解析：（1）连接 ，根据
，得出 是等边三角形，求得
，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形
是直角三角形，从而求得
；
（2）根据四边形的面积等于三角形
和三角形
的和即可求得；
解：（1）连接 ，
，
是等边三角形，
，
，
则
，
，
，
；
（2）
．
16.已知：如图，四边形 中，
．
（1）连接
的形状是？
（2）求证：
．
答案：见解析
解析：（1）根据全等三角形的判定定理“有一内角为 的等腰三角形是等边三角形”推知
是等边三角形．
（2）如图，以 为边向形外作等边 ，连接 ．构造全等三角形（
），然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论．
解：（1）如图，连接 ．
，
是等边三角形；
故答案是：等边三角形；
（2）如图，以 为边向形外作等边，连接．
由（1）知，是等边三角形，
则
，
在 与
，
∵
，
，
，
，
在
中，有
，即
．
17.如图，在 中，
是三角形外一点，且
．求证：
____
°．
答案：60
解析：首先延长 至 ，使
，连接
，由
，易得 是等边三角形，继而证得
，则可证得：
．
证明：延长 至 ，使 ，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和
中，
，
，
．
18.如图，凸六边形 的六个角都是 ，边长
，求出这个六边形的周长为____ .
答案：46
解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是 ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解：如图，分别作直线
的延长线使它们交于点 ．
因为六边形的六个角都是，
所以六边形的每一个外角的度数都是 ．
所以三角形 、三角形
、三角形
、三角形
都是等边三角形．
所以
．
所以
，
，
．
所以六边形的周长为
．
19.如图，在六边形中，
．
（1）试说明
为等边三角形；
（2）请探索
之间的关系（等量关系或位置关系）并说明理由．
答案：见解析
解析：（1）根据多边形的内角和定理求出
，求出
，得出等边三角形
，推出
，同理求出
是等边三角形，推出
，求出
，即可求出答案．
解：（1）作直线 、直线 、直线
和 交于
和 交于
和 交于 ，
，
，
，
，
，
为等边三角形．
（2）
，
理由是：
，
，
，
是等边三角形，
，
同理
，
，[来源:学科网]
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
．
20.如图所示，一个六边形的六个内角都是 ，其中连续四边的长依次是
．求这个六边形的周长为____.
答案：42
解析：首先延长并反向延长
，两两相交于点
，可得
是等边三角形，同理：
是等边三角形，即可求得
与 的长，继而求得答案.
解：如图，延长并反向延长 ，两两相交于点，
六边形 的每个内角都是，
，
是等边三角形，
同理： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
六边形的周长
．
获得更多试题及答案，欢迎联系微信公众号：ygjjcom
客服微信号：ygjjcom