2019-2020学年高一数学知识讲学(必修5)
专题04数列的概念与简单表示法
【知识导图】
【目标导航】
1.理解数列的概念、表示、分类;
2.理解数列的通项公式及其简单应用;
3.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
4.理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项,并能归纳出数列的通项公式;
5.体会递推公式是表示数列的一种方法.
【重难点精讲】
重点一、数列的概念
按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数为这个数列的第一项,也叫做首项.排在第n位的数称作这个数列的第n项,记作an.数列的一般形式为a1,a2,a3,…,an…,简记为{an}.
注意:
(1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置.
(2)项an与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位置.
(3){an}与an是不同概念:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an表示数列{an}中的第n项.
(4)数列的简记符号{an},不能理解为集合{an},其区别如下表:
|
数列 |
集合 |
示例 |
区 别 |
数列中的项是有序的,两组相同的数字,按照不同的顺序排列得到不同的数列 |
集合中的元素是无序的 |
如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列,而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合 |
|
数列中的项可以重复出现 |
集合中的元素满足互异性,不能重复出现 |
如数列1,1,1,…每项都是1,而集合则不可以 |
重点二、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做数列的通项公式.
注意:①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数表达式,即an=f(n).
②已知数列的通项公式,依次用1,2,3,…去替代公式中的n,就可以求出这个数列的各项;同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项,是第几项.
③同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.
重点三、数列的分类:
(1)按项数分类:项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类:
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an+1>an(n=1,2,3…).
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an+1<an(n=1,2,3…).
各项相等的数列叫做常数列.
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
重点四、如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,如a1=1,an+1=an+2就是数列{an}的一个递推公式.
重点五、给出递推公式及初始值的数列,例如:an+1=an+an-1,a1=a2=1,这样给出的数列是一个确定的数列,即递推公式也是给出数列的一种方法.
【典题精练】
考点1、数列的概念及分类
例1.【2016-2017学年安徽六安一中高二上文周末检测】已知,那么数列是( )
A.递减数列 B.递增数列
C.常数列 D.摆动数列
【答案】B
【解析】
数列是递增数列,故选B.考点点睛:解答数列概念题要紧扣相关定义,观察数列的项数特征,确定是有穷数列还是无穷数列,观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性,也可以借助函数的单调性判断数列的增减.
考点2、已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式
例2.已知数列中,.
(1)写出数列的前5项.
(2)猜想数列的通项公式,并验证所猜的通项公式满足所给的递推公式.
【答案】(1);,,,.(2)猜想,验证见解析
【解析】
(1),
,
,
,
.
(2)猜想.
显然,当时,;
当时,,
∴ .考点点睛:根据数列的前几项求其通项公式,一般通项公式不唯一,我们常常取其形式上较简便的一个即可.解答时,主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法.观察时特别注意:①各项的符号特征;②分式的分子、分母特征;③相邻项的变化规律(绝对值的增减).处理方法常用的有:①化异为同(统一分子、或分母的结构形式);②拆项;③用(-1)n等表示符号规律;④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方,2n等)的联系.
考点3、数列通项公式的应用
例3.在数列中,.
(1)-107是不是该数列中的某一项?若是,其为第几项?
(2)求数列中的最大项.
【答案】(1)是,;(2)
【解析】
(1)令,
解得或(舍去).所以
(2),
由于,所以最大项为考点点睛:判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
①将所给项代入通项公式中;
②解关于n的方程;
③若n为正整数,说明某数是该数列的项;若n不是正整数,则不是该数列的项.
考点4、求数列的最大(小)项的方法
例4.已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}中的最大项为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
解法一 an+1-an=(n+1) n+1-nn=·n,
当n<2时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=2时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>2时,an+1-an<0,即an+1<an.
所以a1<a2=a3,a3>a4>a5>…>an,
所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×2=.故选A.
解法二 ==,
令>1,解得n<2;令=1,解得n=2;令<1,解得n>2.又an>0,
故a1<a2=a3,a3>a4>a5>…>an,
所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×2=.故选A.考点点睛:求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由an≤an-1(an≤an+1)来确定n,求最大项可由an≥an-1(an≥an+1)来确定n.若数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项,若数列的项是正负交替出现的,求最大(或小)项,应在其正(或负)项中找.
考点5、由数列的递推公式求项、归纳通项公式
例5.已知无穷数列
(1)求这个数列的第10项.
(2)是这个数列的第几项?
(3)这个数列有多少个整数项?
(4)是否有等于序号的的项?如果有,求出这些项;如果没有,试说明理由.
【答案】(1);(2)第100项;(3)4个;(4)有,
【解析】
(1)将代入,得第10项为,即;
(2)设,解得,是第100项;
(3)设,变形得,可取的值有2,3,4,7,即有4个整数项;
(4)设,解得(舍)或,此时,所有等于序号的的项,且为考点点睛:由递推公式写出通项公式的步骤:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.
考点6、由递推公式求通项公式的方法
(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.
(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.
(3)已知数列{an},a1=1,(n+1)an+1=nan,求通项公式an.
例6.【湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末】在数列中,,且对于任意自然数,都有,则________.
【答案】
【解析】
对于任意自然数,都有,则,
,,,,.
上述等式全部相加得,
因此,,故答案为:.
考点点睛:(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.
将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).
(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.
将原递推公式转化为an(an+1)=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由a1(a2)=f(1),a2(a3)=f(2),…,an-1(an)=f(n-1),累乘可得a1(an)=f(1)f(2)…f(n-1).
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