一、填空题（每题 3 分）
1. 设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为 .
2. 已知复数 z = 1 + 3i （ i 为虚数单位），则它的虚部为 .
3. 若复数 z 满足2z - 3 = 1 + 5i （ i 是虚数单位），则 z = .
4. 设 m Î R ，若复数 z = (1 + mi)(1 + i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 m = .
5. 
将椭圆的参数方程ìïx = 2 cosq （q为参数）转化为普通方程 .
ïî y = 3 sinq
2
x2 - 2
|
6. 已知抛物线 y
.
= 8x 的焦点与双曲线
a2
y = 1 的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为
7. 已知圆 x2 + y2 = 5 和点 A(2, -1)，则过点 A 的圆的切线方程为.
8. 
若复数 z = x + yi (x, y Î R)复平面上对应的点在直线3x + 4 y - 15 = 0 上，则 z 的最小值是
.
9. 已知抛物线型拱桥的顶点蹑水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为 米.
x2
10. 已知椭圆 a2
y = 1(a > 0)上的一点 P 也在抛物线 y
3
2 = 9 x 上，设抛物线焦点为 F ，若
4
PF = 25 ，则 a = .
16
11. 已知a是实系数一元二次方程 x2 - (2m - 1)x + m2 + 1 = 0 的一个虚数根，且 a £ 2 ，则实
数 m 的取值范围是 .
x2 2
12. 
点 F1、F2 分别是椭圆C : 2 + y
= 1的左、右焦点，点 N 为椭圆C 的上顶点，若动点
M 满足：
= 2MF1 × MF2 ，则 MF1 + 2MF2 的最大值为 .
13. 在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）
A.若 z 为实数，则 z = z B.若 z = z ，则 z 为实数
C.若 z × z 为实数，则 z 为实数 D.若 z 为实数，则 z × z 为实数
14. 当 ab < 0 时，方程 ax2 - ay2 = b 所表示的曲线是（ ）
A.焦点在 x 轴的椭圆上 B.焦点在 x 轴的双曲线
C.焦点 y 在轴的椭圆 D.焦点在 y 轴的双曲线
15. 若实系数一元二次方程 z2 + z + m = 0 有两虚数根a、b，且 a- b = 3 ，那么实数 m 的值
是（ ）
A. 5
2
B.1
C. -1
D. - 5
2
16.已知点 A(1, -2)， B (2, 0)， P 为曲线 y =
上任意一点，则 AP × AB 的取值范围为
（ ）
A. [-1, 7]
B. [1, 7]
C. é-1, 3 + 2 3ù
D. é1, 3 + 2 3ù
三、解答题（第 17 题共 8 分，第 18 题共 8 分，第 19 题共 10 分，第 20 题共 12 分，第 21
题共 14 分）
17. 设 z 为关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 ， m, n Î R 的虚根， i 为虚数单位.
（1） 当 z = 1 + i 时，求 m、n 的值；
（2） 在（1）的条件下，若w= n + ai, (a Î R)， w £ 3 ，求 a 的取值范围。
18. 已知动点 M (x, y )到点 F (2, 0)的距离为 d1 ，动点 M (x, y )到直线 x = 3 的距离为 d2 ，且
d1 = 6 .
d2 3
（1） 求动点 M (x, y )的轨迹C 的方程；
（2） 若直线l : y = x - 2 交曲线C 于 P、Q 两点，求DOPQ 的面积。
解：
19. 已知双曲线C : x2 - y2 = 1 .
（1） 若经过点 P (0, -1)的直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点 M、N ，求直线l 的斜率
的取值范围；
（2） 在（1）的条件下，求线段 MN 的中垂线l¢ 在 y 轴上的截距t 的取值范围.
解：
20. 
如图，已知满足条件 z - 3i = - i （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 上的对应点 Z (x, y )的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A(-1, 0)斜
率为 k 的直线l 与直线 m 相交于 N 点，与圆C 相交于 P、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.
（1） 若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直；
（2） 
当 PQ = 2
时，求直线l 的方程；
（3） 设t = AM × AN ，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说
明理由. 解：
21. 给出定理：在圆惟曲线中， AB 是抛物线G : y2 = 2 px (p > 0)的条弦，
C 是 AB 的中点，
过点C 且平行于轴的直线与抛物线的交点为 D .若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值
yA - yB
= a (a > 0)， x 则
DADB 的面积 D SDADB =
a3
16 p
，试运用上述定理求解以下各题：
（1） 若 p = 2 ， AB 所在直线的方程为 y = 2x - 4 ， C 是 AB 的中点，过C 且平行于 x 轴的
直线与抛物线G 的交点为 D ，求 SDADB ；
（2） 已知 AB 是抛物线G : y2 = 2 px (p > 0)的一条弦， C 是 AB 的中点，过点C 且平行于
x 轴的直线与抛物线的交点为 D ， E、F 分别为 AD 和 BD 的中点，过 E、F 且平行于 x 轴的直线与抛物线G : y2 = 2 px (p > 0)分别交于点 M、N ，若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值
yA - yB
= a (a > 0)，求 SDAMD 和 SDBND ：
请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线： y2 = 2 px (p > 0)与弦 AB 围成
成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
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