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九年级 2018～2019 学年度暑期《抛物线》课前测试（17）
一、如图，已知抛物线 y = - 1 x2 + bx + c 与 x 轴正半轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交
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于 C 点，过 A 点作 x 轴的垂线交 BC 于 D 点，若 AB=2，求直线 OD 的解析式．
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二、如图，已知 M 为抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点，平行于 x 轴直线l 、直线l 分别交抛物线于 A、B 两
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点（A 点在 B 点的左侧）和 C、D 两点（C 点在 D 点的左侧），若△MAB 为等腰直角三角形，△MCD
AB y
为等边三角形，求 的值．
CD
A B
1
C D
2
O x
三、已知 A 点的坐标为（0，2），B 点为 x 轴上的一个动点，过点 B 作 x 轴的垂线交 AB 的垂直平分线于点 P．
（1） 请利用图（1）进行探讨：
①若点 B 的坐标为（2，0）时，则点 P 的坐标为 ；
②若点 B 的坐标为（4，0）时，则点 P 的坐标为 ；
③小明通过探讨发现：当点 B 在 x 轴上运动时，点 P 恰好在一条
确定的抛物线上运动，则点 P 所在的抛物线的函数解析式为 ；
（2） 如图 2，直线 y = kx （ k ＞0）与（1）中的抛物线交于 E、F 两点．若 AF＝3AE，试求 k 的值；
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图 2
（3） 如图 3，若直线 y＝mx－m＋2 与（1）中的抛物线交于 G、M 两点，其中点 M 在第一象限，直线
OG 交（1）中的函数图象于 N 点，求证：MN 必过一个定点，并求这个定点的坐标．
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图 3
四、如图，在直角坐标系中，抛物线 y = ax2 - 2x - 3a 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，OC＝OB， 点 P 为抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
图 1
当点 P 运动到抛物线对称轴右侧时（不包括 B 点），连 PC、BC、BP 得△BCP．设△BCP 的面积
为 S ，点 P 的横坐标为 x．若 S ＜ 27 ，求 x 的取值范围；
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备用图
当点 P 在第四象限时，连 AP、BP，BP 交 y 轴于点 R，过点 B 作直线 l∥AP 交 y 轴于点 Q，求线段 QR 的长度．
图 2
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