湖北省武汉外国语学校2018-2019学年高二10月月考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
若直线
过第一、三、四象限，则实数a，b满足（ ）
A. 
，
B. ，
C. 
， D. ，
用辗转相除法计算60和48的最大公约数时，需要做的除法次数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y-2）2=4所截得的弦长为（ ）
A. 1 B. 
C. 
D. 2
若
=
，则tan2α=（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A. 101 B. 808 C. 1212 D. 2012
已知坐标平面内三点
，直线l过点P．若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy=（ ）
A. 90 B. 91 C. 96 D. 98
执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
|
A. 
B. 
C. 
D. 
光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
从标有1、2、3、4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知三棱锥D-ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=
，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=1，平面区域Ω：
，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）
A. 5 B. 29 C. 37 D. 49
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表
|
广告费用x（万元） |
4 |
2 |
3 |
5 |
|
销售额y（万元） |
49 |
26 |
39 |
54 |
根据上表可得回归方程
中的
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______．
与直线l：y=2x+3平行且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是______．
x，y满足约束条件
，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为______．
若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 
+
的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-
，-
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
|
设Sn为数列{an}的前n项和．已知
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列{bn}的前n项和Tn．
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
|
已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（Ⅰ）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（Ⅱ）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求△AOB的面积的最小值并求此时直线l的方程；
（III）已知点P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d的最大值并求此时直线l的方程．
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4．
（Ⅰ）过原点O（0，0）作圆C的切线，切点分别为H、K，求直线HK的方程；
（Ⅱ）设定点M（-3，8），动点N在圆C上运动，以CM，CN为领边作平行四边形MCNP，求点P的轨迹方程；
（Ⅲ）平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求|AP|2+|BP|2的最小值；
（Ⅳ）若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：根据题意，直线直线
过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，
则a＞0，b＞0，
故选：C．
根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案．
本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】
解：∵60=1×48+12
48=4×12
60和48的最大公约数是12
需要做的除法次数2
故选：B．
本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将60与48代入易得到答案．
对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数．当d≥0时，d是a，b公因数中最大者．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．
3.【答案】D
【解析】
解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y=
x，
圆x2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），半径r=2，
圆心到直线的距离为d=
=
，
则截得的弦长为2
=2
=2，
故选：D．
求得直线方程，以及圆心和半径，运用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由弦长公式计算可得所求弦长．
本题考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：∵
=
=
，
∴tanα=-3，
则tan2α=
=
=
．
故选：B．
将已知等式左边的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出值．
此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为
=
样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为
=808
故选：B．
根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．
本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】
解：如图，
由
，
得
，
．
∴PM所在直线的倾斜角为
，PN所在直线的倾斜角为
，
则直线l的倾斜角的取值范围为
．
故选：A．
由题意画出图形，分别求出直线PM，PN所在直线当斜率，进一步求得倾斜角得答案．
本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7.【答案】B
【解析】
解：样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，
所以x+y=2×10，…①
（-1）2+02+12+（x-10）2+（y-10）2=4×5，…②；
由①②得
，
求得xy=91．
故选：B．
根据样本的平均数与方差的定义，列方程组求出xy的值．
本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
因此S=+
+
=
（此时k=6），
因此可填：S≤．
故选：C．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．
本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】
解：根据光学性质可知点A（2，3）关于直线x+y+1=0的对称点 A′（-4，-3）在反射光线所在直线上，
由两点式可得反射光线所在直线方程为：
=
，化简得：4x-5y+1=0．
故选：A．
根据光学性质可知点A（2，3）关于直线x+y+1=0的对称点 A′（-4，-3）在反射光线所在直线上，再根据两点式可得反射线所在直线方程．
本题考查了点关于直线对称，直线方程的两点式，属中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，∴号码4在第一次被抽到的概率为．
号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为
号码4在整个张中抽样过程中被抽到的概率为
故选：C．
：第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，∴号码4在第一次被抽到的概率为．
若抽两次，号码4第一次未被抽到而第二次被抽到，则第一次是从1，2，3任意一张中抽的，有3种情况，第二次抽中4，只有1中情况，总的方法数3×1种，若不考虑限制，第一次从1、2、3、4中任意抽1张，有4中抽法，第二次从剩下的3任意抽1张，有3种抽法，共有4×3种抽法，再让两者相除即可．
在整个张中抽样过程中被抽到，可能第一次被抽到，也可能第二次被抽到，所以概率为两种概率之和．
本题考查了抽样方法中每个个体被抽到的概率的判断，做题时要认真分析．
11.【答案】D
【解析】
解：设△ABC的外接圆的半径为r，
AB=BC=
，AC=2，∴AB⊥BC，r=1，
S△ABC=×|AB|•|BC|=1，
∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为1，
∴D到平面ABC的最大距离为3，
球的半径为R，则R2=12+（R-3）2，∴R=
，
∴球O的表面积为4πR2=
．
故选：D．
由题意可知：△ABC为直角三角形，根据三棱锥的体积公式，即可求得D到平面ABC的最大距离为3，利用勾股定理即可求得球O半径，求得球O的表面积．
本题考查球的表面积及体积公式，考查勾股定理的应用，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
圆心为（a，b），半径为1．
∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，
∴b=1，
则a2+b2=a2+1，
∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，
由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，
由
，解得
，即B（6，1），
∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，
故选：C．
画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
13.【答案】65.5万元
【解析】
解：∵
=3.5，
=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程
中的
为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴
=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故答案为：65.5万元．
首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．
14.【答案】y=2x±
【解析】
解：根据题意，要求的直线与y=2x+3平行，则可设其方程为y=2x+c，即2x-y+c=0；
圆的方程可变形为（x-1）2+（y-2）2=1，圆心为（1，2），半径为1；
要求的直线与圆相切，则有
=1，则c=±
，
即要求的直线方程为y=2x±，
故答案为y=2x±．
根据题意，结合直线平行的性质，设要求的直线的方程为y=2x+c，由圆的方程求出圆心与半径，要求的直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，可得=1，解可得c=±，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系以及直线与直线平行的运用，一般解直线与圆相切的问题时，将其转化为圆心到直线的距离为半径来解决．
15.【答案】2或-1
【解析】
解：由题意作出其平面区域，
将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，
由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行，
故a=2或-1；
故答案为：2或-1．
由题意作出其平面区域，将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．
16.【答案】4
【解析】
解：圆x2+y2+2x-4y+1=0 即（x+1）2+（y-2）2=4，圆心为（-1，2），半径为 2，
设圆心到直线2ax-by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得2
=4，d=0，即
直线2ax-by+2=0经过圆心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，
则 
+
=
+
=2+
+
≥2+2
=4，当且仅当a=b时等号成立，
故式子的最小值为 4，故答案为 4．
先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax-by+2=0的距离d=0，直线2ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．
本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（-，-）．
∴x=-，y=
，r=|OP|=
，
∴sin（α+π）=-sinα=
；
（Ⅱ）由x=-，y=，r=|OP|=1，
得
，
，
又由sin（α+β）=，
得
=
，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
，
或cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
．
∴cosβ的值为
或
．
【解析】
（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．
本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．
18.【答案】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是
=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为
=
，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．
【解析】
（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）依题意有an2+2an=4Sn+3①，
当n=1时a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，
当n≥2是an-12+2an-1=4Sn-1+3②，
①-②得（an+an-1）（an+an-1-2）=0，
∵an＞0，
∴an+an-1＞0，
∴an-an-1-2=0（n≥2），
∴{an}成等差数列，得an=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）=
=
=
（
-
），
∴数列{bn}的前n项和Tn=（1-+
+…+-）=（1-）=
【解析】
（Ⅰ）利用递推关系可得，又an＞0，即可求出．
（Ⅱ）利用“裂项求和”即可得出．
本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
【解析】
（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．
21.【答案】
解：（Ⅰ）由kx-y+1+2k=0，得k（x+2）+（-y+1）=0，
联立
，解得
，
则直线l：kx-y+1+2k=0过定点M（-2，1）；
由kx-y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，
要使直线不经过第四象限，则
，解得k≥0．
∴k的取值范围是[0，+∞）；
（Ⅱ）如图，由题意可知，k＞0，
在kx-y+1+2k=0中，取y=0，得x=-
，取x=0，得y=1+2k，
∴S△AOB=×|OA|×|OB|=××（1+2k）
=
=2k+
+2≥2
+2=4．
当且仅当2k=，即k=时上式“=”成立．
∴S的最小值为4，此时的直线方程为x-y+2=0，即x-2y+4=0；
（Ⅲ）点P（1，5），若点P到直线l的距离为d，
当PM⊥l时，d取得最大值，且为
=5，
由直线PM的斜率为
=
，
可得直线直线l的斜率为-
，
则直线l的方程为y-1=-（x+2），
即为3x+4y+2=0．
【解析】
（Ⅰ）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；
（Ⅱ）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．
本题考查直线横过定点问题，考查利用基本不等式求最值，以及数形结合思想方法，是中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）由圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，得圆心C（3，4），
则以OC为直径的圆的方程为
，
联立
，得3x+4y-21=0．
∴直线HK的方程为3x+4y-21=0；
（Ⅱ）设P（x，y），圆上的动点N（x0，y0），则
线段CP的中点坐标为（
，
），线段MN的中点坐标为（
，
），
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴=，=，
可得x0=x+6，y0=y-4．
∵N（x0，y0），即N（x+6，y-4）在圆上，
∴N点坐标应满足圆的方程，
则点P的轨迹方程为：（x+3）2+（y-8）2=4（x
）；
（Ⅲ）设P（x，y），由两点间的距离公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．
又P为圆上的点，∴|OP|min=|OC|-r=
-2=3，
∴（|AP|2+|BP|2）min=20；
（Ⅳ）由题意∠CSQ=∠CRQ=
，则R，S在以QC为直径的圆上，
设Q（a，0），则以QC为直径的圆的方程：（x-
）2+（y-2）2=
，
即x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，
与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0联立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，
故无论a取何值时，直线RS恒过定点（3，3）．
【解析】
（Ⅰ）求出圆心坐标，写出以OC为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立消去二次项即可得答案；
（Ⅱ）设P（x，y）、N（x0，y0），根据中点坐标公式算出OP、MN中点坐标关于x、y和x0、y0的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用x、y表示x0、y0的式子，最后将点N坐标代入已知圆方程，化简即得所求点P的轨迹方程，最后检验去除杂点，可得答案；
（Ⅲ）根据圆的标准方程，设出点P的坐标，然后利用两点间距离公式，得到|AP|2+|BP|2的表达式，即可求得|AP|2+|BP|2的最小值；
（Ⅳ）写出以QC为直径的圆的方程x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0联立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，再由直线系方程得答案．
本题考查了圆的方程的综合应用，和平面内两点间距离公式，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
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