2018-2019学年湖北省武汉六中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程4x2＝81化成一般形式后，二次项的系数为4，它的常数项是（ ）
A．﹣81 B．81 C．0 D．4
2．二次函数y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的自变量x为全体实数时的（ ）
A．最小值为﹣2 B．最大值为﹣2 C．最小值为2 D．最大值为1
3．掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则（ ）
A．掷一次骰子，朝上的一面的点数出现1的可能性最大
B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7
C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为3
D．掷一次骰子，朝上的一面的点数可能出现5
4．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（ ）
A．5米 B．7米 C．
米 D．
米
8．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．BC＝8，则的外心与内心之间的距离为（ ）
A．
B．2 C．1 D．
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（0，﹣4）、（3，0），⊙C的圆心坐标为（0，1），半径为1，D是⊙C上的一动点，则△ABD面积的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．10
10．已知二次函数y＝x2﹣2px﹣p+3，当﹣1＜x＜0时，y的值恒大于1，则p的取值范围（ ）
A．﹣1＜p＜2 B．﹣3＜p＜1 C．﹣1＜p＜0 D．﹣3＜p＜2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．方程x2﹣9＝0的解是 ．
12．抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位长度，在向右平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是 ．
13．汉口江滩观赏菊花展人数逐年增加，据统计，2016年约为32万人次，2018年约为40万人次．设观赏人数年均增长率为x，则列出的方程是 ．
14．从0、
、π、3.5这四个数中，选取一个，选取两次，每次每个数被选中的可能性相同，则两次选到的数中至少有一个是无理数的概率是 ．
15．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为 ．
16．如图，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，点P在△ABO内，当PA，PO，PB的和最小时点P的坐标是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y＝x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
19．（8分）不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，它们除颜色外无其它差别．
（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出所有等可能的结果有多少种？两次摸出的球中至少有一个红球的概率是多少？
（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球都是红球”的概率是 ．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标分别为（4，0），作出△A1B1C1的图形
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，作出△A2B2C2的图形
（3）将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A3B3C3，作出△A3B3C3的图形
（4）直接说明△A1B1C1和△A2B2C2是否成中心对称，若是直接写出对称中心的坐标．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为
上一点，BF交CD于G，点H在CD的延长线上，且FH＝GH．
（1）求证：FH与⊙O相切．
（2）若FH＝OA＝5，FG＝
，求AG的长．
22．（10分）某汽车厂决定把一块长100m、宽60m的矩形空地建成停车场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于28m，不大于52m．设绿化区较长边为xm，停车场的面积为ym2
（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为 ．
②y与x的函数关系式及x的取值范围．
（2）求停车场的面积y的最大值．
（3）预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为50元/m2．如果汽车厂投资不得超过540000元建造，当x为整数时，共有几种建造方案？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝OB，P为线段OA上一点，过P作PQ⊥AB于Q，C为AB的中点，连接OC．
（1）如图1，若A（2，0），将△APQ绕点A顺时针旋转45°得到△ACD，画出△ACD，并写出点D的坐标；
（2）如图2，将△APQ绕点A顺时针旋转90°得到△AEF，连接OE，CF，请写出OE与CF的数量关系，并给予证明；
（3）将△APQ绕点A顺时针旋转α（90°＜α＜360°）得到△AEF，连接OE，CF，直接写出（2）中的结论是否成立．．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．
2018-2019学年湖北省武汉六中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】先化成一般形式，再得出答案即可．
【解答】解：4x2＝81，
4x2﹣81＝0，
常数项是﹣81，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
2．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（1，﹣2），也就是当x＝1时，函数有最大值﹣2．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的顶点坐标是（1，﹣2），
又二次函数y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的图象的开口方向向下，
∴当x＝1时，函数有最大值﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
3．【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、掷一次骰子，朝上的一面的点数出现1的可能性与其它点数可能性一样，故本选项错误；
B、掷一次骰子，朝上的一面的点数为7是不可能事件，故本选项错误；
C、掷一次骰子，朝上的一面的点数为3是随机事件，故本选项错误；
D、掷一次骰子，朝上的一面的点数可能出现5，正确；
故选：D．
【点评】考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【点评】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图：（三把钥匙分别用A、B、C表示，两把不同的锁用a、b表示，其中A、B分别能打开a、b这两把锁）
共有6种等可能的结果数，其中一次打开锁的结果数为2，
所以任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率＝
＝
．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×2k＝36﹣8k≥0，
解得：k≤
．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出36﹣8k≥0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（不等式组或方程）是关键．
7．【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．
【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，
由垂径定理得AD＝5米，
设圆的半径为r，
由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，
即（7﹣r）2+52＝r2，
解得r＝
米．
故选：D．
【点评】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
8．【分析】作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB＝10，得到△ABC的外接圆半径AO＝5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r＝2，则ON＝1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝
＝10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO＝AB＝5．
设⊙M的半径为r，则MD＝ME＝r，
又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，
∵AB＝10，
∴8﹣r+6﹣r＝10，
解得r＝2，
∴MN＝r＝2，AN＝6﹣r＝4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO﹣AN＝5﹣4＝1，
∴OM＝
．
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，综合性较强，难度适中．求出△ABC的内切圆半径是解题的关键．
9．【分析】如图，过点C作CE⊥AB，延长EC交⊙C于D，此时△ABD面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点D到直线AB的距离最大），根据已知条件得到直线AB的解析式为y＝
x﹣4①，直线CE的解析式为y＝﹣
x+1②，联立①②得，得到E（
，﹣
），根据两点间的距离公式得到CE＝
＝3，求得DE＝CE+CD＝3+1＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，延长EC交⊙C于D，此时△ABD面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点D到直线AB的距离最大），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0，﹣4），B（3，0），
∴
，
∴
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣4①，
∵CE⊥AB，C（0，1），
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+1②，
联立①②得，E（，﹣），
∵C（0，1），
∴CE＝＝3，
∵⊙C的半径为1，
∴DE＝CE+CD＝3+1＝4，
∵A（0，﹣4），B（3，0），
∴AB＝5，
∴S△ABE面积的最大值＝
×5×4＝10．
故选：D．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．
10．【分析】将x＝﹣1代入函数的解析式，令y＞1即可求得p的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2px﹣p+3的图象是一条开口向上的抛物线，
（1）当抛物线的对称轴x＝p≤﹣1时，只要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，
所以x＝﹣1，y＝1+2p﹣p+3＝p+4＞1，
解得：p＞﹣3；
（2）当抛物线的对称轴x＝p≥0时，只要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，
所以x＝0，y＝p+3＞1，
所以要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，只要p≥0即可；
（3）当抛物线的对称轴x＝p在区间﹣1＜x＜0时，﹣1＜p＜0，
综上所述：p的取值范围是：﹣1＜p＜0．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】解：x2﹣9＝0即（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±3．
【点评】此题主要考查了平方差公式在因式分解中的应用，比较简单．
12．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位长度，在向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2016年约为32万人次，2018年约为40万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得：32（1+x）2＝40，
故答案为：32（1+x）2＝40．
【点评】此题主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
14．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次选到的数中至少有一个是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次选到的数中至少有一个是无理数的结果数为10，
所以两次选到的数中至少有一个是无理数的概率＝
＝
．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了无理数．
15．【分析】设圆锥的底面圆的半径为R，母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到
•l•2πR＝4•πR2，则l＝4R，然后根据扇形的面积公式得到4πR2＝
，再解方程即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为R，母线长为l，
根据题意得•l•2πR＝4•πR2，
所以l＝4R，
设这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为n，
则4πR2＝＝
，
解得n＝90°．
故答案为90°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【分析】将△OPB逆时针旋转60°得到△OMN，可得到A、P、M、N在一条直线上时，PA，PO，PB的和最小，再通过证明△MNO≌△PAO（SAS），判断得到△PQO是等腰直角三角形，借助PQ∥NC，求得P点坐标．
【解答】解：如图，将△OPB逆时针旋转60°得到△OMN，则MN＝PB，OM＝OP，
作NC⊥x轴于C，
∵∠POM＝60°，∠BON＝60°，
∴△POM是等边三角形，∠CON＝30°，
∴PM＝OP，
当A、P、M、N在一条直线上时，PA，PO，PB的和最小，
∵直线y＝﹣x+2
与坐标轴交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OB＝2，
∴ON＝2，
∴OC＝3，NC＝，
∴N（﹣3，），
∵ON＝OA，MP＝OP，
∴∠MNO＝∠PAO，∠NMO＝∠APO＝120°，
∴△MNO≌△PAO（SAS），
∴AP＝MN，∠MOA＝∠POA，
又∵∠CON＝30°，∠POM＝60°
∴∠MOA＝∠POA＝45°，
∴过P过PQ⊥x轴，设P（m，m），
∴
＝
，
＝
，
解得m＝﹣1，
故P（
﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】考查知识点：图形的旋转变换；三角形全等；三角形相似；轴对称求最短距离．解题关键，利用旋转找到PA，PO，PB的和最小时P的位置．
三、解答题（共8题，共72分）
17．【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴
，
；
解法二：（x﹣1）2＝2
∴
∴，．
【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择．本题考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝
（b2﹣4ac≥0）．
18．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2＝0；
∵原方程有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，得m≤；
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两根，
∴y＝x1+x2＝﹣2m+2，且m≤；
因而y随m的增大而减小，故当m＝时，取得最小值1．
【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．
19．【分析】（1）画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出两次摸出的球中至少有一个红球的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出两次取出的球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有25种等可能的结果数，两次摸出的球中至少有一个红球的结果数为21，
所以两次摸出的球中至少有一个红球的概率＝
；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，两次取出的球都是红球的结果数为6，
所以两次取出的球都是红球的概率＝
＝
．
故答案为
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
20．【分析】（1）根据点平移的坐标特征，利用点C平移到C1得到平移的规律，写出A1、B1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2，然后描点即可得到△A2B2C2；
（3）利用网格特点和旋转的性质画出点A3、B3、C3，然后描点即可得到△A3B3C3；
（4）利用画图可判定△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称，然后写出对称中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，△A3B3C3为所作；
（4）△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称，对称中心的坐标为（2.5，﹣1.5）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．
21．【分析】（1）连接OF，通过倒角证出∠OFH为90°，即可得FH与⊙O相切；
（2）连接AF，作HK⊥FG于K，由FH＝GH，利用等腰三角形的三线合一，可求KG，进而得出sin∠EBG等于sin∠KHG，求出AF，在直角三角形AFG中，利用勾股定理可求得AG的长．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵FH＝GH．
∴∠GFH＝∠FGH，
∵∠FGH＝∠BGE，
∴∠GFH＝∠BGE，
∵OB＝OF，
∴∠B＝∠BFO，
∵AB⊥CD，
∴∠B+∠BGE＝90°，
∴∠BFO+∠GFH＝90°，即∠OFH＝90°，
∴FH与⊙O相切；
（2）解：连接AF，作HK⊥FG于K，
∵HF＝HG，HK⊥FG，
∴FK＝KG＝
，
∵HF＝HG，FH＝OA＝5，
∴HF＝HG＝5，
∵∠BEG＝∠HKG＝90°，∠BGE＝∠HGK，
∴∠EBG＝∠KHG，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴sin∠EBG＝sin∠KHG＝
÷5＝
，
∴AF＝
，
∴在直角三角形AFG中，AG＝
＝
＝6．
∴AG的长为6．
【点评】本题是切线的证明和圆中相关线段的计算问题，综合性较强，考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、三角函数等知识，难度较大．
22．【分析】（1）①根据图形可得结论；②根据题意可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①出口的宽度为：100﹣2x，
②根据题意得，y＝100×60﹣4x（x﹣20），
即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+80x+6000（24≤x≤36）；
故答案为：（100﹣2x）m；
（2）y＝﹣4x2+80x+6000＝﹣4（x﹣10）2+6400，
∵a＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为x＝10，当24≤x≤36时，y随x的增大而减小，
∴当x＝24时，y最大＝5616，
答：停车场的面积y的最大面积为5616m2；
（3）设费用为w，
由题意得，w＝100（﹣4x2+80x+6400）+50×4x（x﹣20）＝﹣200（x﹣10）2+660000，
∴当w＝540000时，解得：x1＝﹣10
+10，x2＝10+10，
∵a＝﹣200＜0，
∴x1＝﹣10+10，x2＝10+10，w＝540000，
∵24≤x≤36，
∴10+10≤x≤36，且x为整数，
∴共有2种建造方案．
【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．
23．【分析】（1）根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）结论：OE＝
CF．只要证明△OAE∽△CAF，即可推出
＝，则可得结论；
（3）结论不变；只要证明△OAE∽△CAF，即可推出＝，则可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，△ACD即为所求．
∵将△APQ绕点A顺时针旋转45°得到△ACD，
∴AP＝AC，CD＝PQ，AQ＝AD，∠D＝∠PQA＝90°
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴AB＝2，∠BAO＝45°
∵C为AB的中点，
∴AC＝CB＝，
∴AP＝AC＝，
∵PQ⊥AB，∠BAO＝45°，
∴∠QPA＝∠PAQ＝45°，
∴PQ＝AQ，
∴AD＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，△APQ是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝1，
∴D（2，1），
（2）结论：OE＝CF，
理由如下：如图2中，
∵
，
，
∴
，
又∵∠OAE＝∠CAF＝90°
∴△OAE∽△CAF
∴
＝
∴OE＝CF
（3）结论仍然成立，
理由如下：如图3中，
∵，，
∴
，
∵∠OAB＝∠EAF＝45°，
∴∠OAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAF，
即∠OAE＝∠CAF，
∴△OAE∽△CAF，
∴
＝
∴OE＝CF
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）由点A，B的坐标利用待定系数法即可求出该二次函数的表达式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点C的坐标；
（2）由点C，D的坐标利用待定系数法即可求出线段CD所在直线的函数表达式，设点F的坐标为（x，﹣
x2﹣x+2）（﹣4＜x＜0）．
①连接DF，过点F作FM⊥x轴于点M，FM交CD于点N，由点F的坐标可得出点N，M的坐标，进而可得出FN的值，由平行四边形的性质结合三角形的面积可求出S＝2S△CDF＝﹣2x2﹣7x+4，再利用配方法即可出S的最大值；
②由平行四边形的性质结合点C，D，F的坐标可找出点E的坐标，由点E的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，再将其代入S＝﹣2x2﹣7x+4及点E的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（0，2），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得：
，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+2．
当y＝0时，﹣ x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点C的坐标为（﹣4，0）．
（2）设线段CD所在直线的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），
将C（﹣4，0），D（0，1）代入y＝kx+d，得：
，
解得：
，
∴线段CD所在直线的函数表达式为y＝
x+1．
设点F的坐标为（x，﹣ x2﹣x+2）（﹣4＜x＜0）．
①连接DF，过点F作FM⊥x轴于点M，FM交CD于点N，如图所示．
∵点F的坐标为（x，﹣ x2﹣x+2），
∴点M的坐标为（x，0），点N的坐标为（x，
x+1），
∴FM＝﹣x2﹣
x+2，NM＝x+1，
∴FN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+1）＝﹣x2﹣
x+1，
∴S＝2S△CDF＝2×OC•FN＝﹣2x2﹣7x+4＝﹣2（x+）2+
．
∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值为．
②∵四边形CDEF为平行四边形，点C的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，1），点F的坐标为（x，﹣ x2﹣x+2），
∴点E的坐标为（x+4，﹣ x2﹣x+3）．
∵点E落在该二次函数图象上，
∴﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）2﹣（x+4）+2，
整理得：4x+15＝0，
解得：x＝﹣
．
当x＝﹣时，S＝﹣2x2﹣7x+4＝
，点E的坐标为（
，
）．
∴当点E落在该二次函数图象上时，此时S的值为，点E的坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的表达式；（2）①利用平行四边形的性质结合三角形的面积，找出S＝﹣2x2﹣7x+4；②由平行四边形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次方程．
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