2018-2019学年第一学期湖北省武汉市七一华源中学九年级10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
方程4x2-1=0的根是（ ）
A. 
B. 
，
C. 
D. 
，
方程x2-4x+5=0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
如图所示，△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
|
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二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点（-1，0），则代数式a-b的值为（ ）
A. 0 B. 
C. 
D. 2
函数y=-x2-4x-3图象顶点坐标是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
一元二次方程y2-y-
=0配方后可化为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆．设该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
如图一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
|
A. 1 B. C. 2 D.
已知直线PQ过y轴的正半轴上一个定点M，交抛物线y=
x2于P、Q．若对过点M的任意直线PQ，都有
+
为定值，则点M的坐标是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是______．
已知a、b是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根，则ab的值是______．
如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为______．
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二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是______．
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若（a2+b2）（a2+b2-1）=12，则a2+b2为______．
抛物线y=2x2-ax+m-a与x轴相交于不同两点A（x1，0）、B（x2，0），若存在整数a及整数m，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则m=______．
三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）
解方程：x2+4x-1=0．
如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）清画出将△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）请画出以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到的△A1B2C2
（3）请直接写出A1、A2的距离．
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关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0
（1）若方程有一个根是3，求k的值；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
四、解答题（本大题共5小题，共48.0分）
已知抛物线y1=x2与直线y2=-
x+3相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点O为坐标原点，△AOB的面积等于______；
（3）当y1＜y2时，x的取值范围是______．
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成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
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鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
如图1，在△ABC中，AC=7，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转，得到△DBE（其中A与D对应）
（1）如图2，当点C在线段ED的延长线上时，△CDB的面积为2
①求证：CB平分∠ACE；②求BC的长；
（2）如图3，在（1）的条件下，点F为线段AB的中点，点P是线段DE上的动点，在旋转过程中，线段FP长度的最大值与最小值之和等于______（请直接写出答案）．
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如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＜0）交于A（-1，-1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；
（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
此题主要考查了中心对称的概念：中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】
解：x2=
，
x=±
．
故选：B．
先把方程变形为x2=，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3.【答案】D
【解析】
解：∵△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程无实数根．
故选：D．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4.【答案】C
【解析】
解：∵旋转
∴∠BAB'=50°，且∠BAC=30°
∴∠B'AC=20°
故选：C．
根据旋转的性质可得∠BAB'=∠CAC'=50°，即可求∠∠B′AC的度数．
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，得a-b+2=0，
即a-b=-2，
故选：B．
把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可得出代数式a-b的值．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：∵y=-x2-4x-3=-（x2+4x+4-4+3）=-（x+2）2+1
∴顶点坐标为（-2，1）；
故选：B．
将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．
7.【答案】B
【解析】
解：y2-y-
=0
y2-y=
y2-y+=1
（y-）2=1
故选：B．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
8.【答案】A
【解析】
解：依题意得3月份该型号汽车的销量为：2000（1+x）2，
则2000（1+x）2=4500．
故选：A．
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设商场利润的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
9.【答案】D
【解析】
解：令y=0，则-x（x-3）=0，
解得x1=0，x2=3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C10在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×9=27个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C10的解析式为y=（x-27）（x-27-3）=（x-27）（x-30），
∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，
∴m=（28-27）（28-30）=-2．
故选：D．
求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
10.【答案】B
【解析】
解：设M（0，m）．
设直线PQ的解析式为y=kx+m（k≠0），
联立y=x2得到：kx+m=x2，
整理，得
x2-4kx-4m=0．
设P（x1，
），Q（x2，
），
∴x1+x2=4k，x1•x2=-4m．
∵MP2=（x1）2+（m-）2=
，
MQ2=（x2）2+（m-）2=（1+k2）
，
∴
+
=
123，
即存在m=2，即存在M（0，2），使得=为定值．
故选：B．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点M的坐标．
本题主要考查了二次函数的抛物线，以及二次函数的图象，韦达定理等内容，熟悉函数的图象和性质是关键．
11.【答案】（5，-3）
【解析】
解：点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，-3），
故答案为：（5，-3）．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】5
【解析】
解：∵a、b是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根，
∴ab=5，
故答案为：5．
由韦达定理可得答案．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-
，x1x2=
．
13.【答案】3
【解析】
解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，
∵DE=EF，
∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE=
=3
，
则AB=AE=3，
故答案为：3
由旋转的性质得到AD=EF，AB=AE，再由DE=EF，等量代换得到AD=DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．
此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
14.【答案】m≤4
【解析】
解：由图可知：y≥-4，即ax2+bx≥-4，
∵ax2+bx+m=0，
∴ax2+bx=-m，
∴-m≥-4，
∴m≤4．
故答案为：m≤4．
结合图象可得y≥-4，即ax2+bx≥-4，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=-m，则有-m≥-4，即可解决问题．
本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
15.【答案】4
【解析】
解：设a2+b2=x，
则原方程可化为：x（x-1）=12，
整理得x2-x-12=0，
x1=-3，x2=4，
a2+b2=-3无意义，
∴a2+b2=4，
故答案为：4．
设a2+b2=x，把原方程化为关于x的一元二次方程，解方程得到方程的两个根，根据偶次方的非负性判断得到答案．
本题考查的是换元法解一元二次方程，灵活运用换元法、掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16.【答案】13或15或19
【解析】
解：存在．
理由：∵抛物线y=2x2-ax+m-a与x轴相交于不同两点A（x1，0）、B（x2，0），
∴△=（-a）2-4×2×（m-a）＞0，
a2-8m+8a＞0，
∵2＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x=1或3时，y＞0；
且对称轴也在1和3之间，
由题意可知，
，
∴4＜a＜12，
∵a是整数，
∴a=5或6或7或8或9或10或11，
当a=5时，代入不等式组，得：
，不等式组无整数解．
当a=6时，代入不等式组，得：
，不等式组无整数解．
当a=7时，代入不等式组，得：
，解得：12＜m＜13
，则m=13．
当a=8时，代入不等式组，得：
，解得：14＜m＜16，则m=15．
当a=9时，代入不等式组，得：
，解得：18＜m＜19，则m=19．
当a=10时，代入不等式组，得：
，不等式组无整数解．
当a=11时，代入不等式组，得：
，不等式组无整数解．
综上所述，整数m=13或15或19时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．
故答案为：13或15或19．
存在．根据抛物线与x轴相交于不同两点，可知△＞0，根据1＜x1＜3和1＜x2＜3，及开口向上，可知当x=1或3时，y＞0，对称轴也在1与3之间，列不等式组，根据4＜a＜12，得整数a的值，分情况代入不等式组分别解出即可．
本题考查二次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是灵活运用已知列不等式，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．
17.【答案】解：∵x2+4x-1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=-2±
∴x1=-2+，x2=-2-．
【解析】
首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18.【答案】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）根据题意得：A1、A2的距离为
=
．
【解析】
（1）画出△ABC向下平移3个单位的三角形，如图所示；
（2）画出△ABC逆时针旋转90°得到的三角形，如图所示；
（3）在网格中，利用勾股定理求出所求即可．
此题考查了作图-旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转与平移规律是解本题的关键．
19.【答案】解：（1）把x=3代入方程x2-（k+3）x+2k+2=0得9-3（k+3）+2k+2=0，
解得k=2；
（2）△=（k+3）2-4（2k+2）=（k-1）2，
x=
，
∵x1=k+1，k2=2，
∴方程有一根小于1，
∴k+1＜1，
∴k＜0．
【解析】
（1）把x=3代入方程得到9-3（k+3）+2k+2=0，然后解关于k的一次方程即可；
（2）先计算判别式的值，再利用求根公式计算出x1=k+1，k2=2，然后根据题意得到k+1＜1，从而解关于k的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
20.【答案】
-2＜x＜
【解析】
解：（1）解方程组
得
或
，
所以A点坐标为（-2，4），B（
，
）；
（2）当x=0时，y=-x+3=3，则直线y=-x+3与y轴的交点坐标为（0，3），
所以，△AOB的面积=×3×（+2）=
；
（3）当-2＜x＜时，y1＜y2．
故答案为；-2＜x＜．
（1）通过解方程组得A点和B点坐标；
（2）先求出直线y=-x+3与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
21.【答案】解：（1）设各通道的宽度为x米，
根据题意得：（90-3x）（60-3x）=4536，
解得：x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．
答：各通道的宽度为2米．
（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，
根据题意得：
-
=2，
解得：y=400，
经检验，y=400是原方程的解，且符合题意．
答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．
【解析】
（1）设各通道的宽度为x米，四块小矩形区域可合成长为（90-3x）米、宽为（60-3x）米的大矩形，根据草地的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 2 天完成任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22.【答案】解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50时，W最大值=4000．
∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【解析】
（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）①根据方程即可解决问题；
②列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
23.【答案】4+4
【解析】
（1）①证明：如图2中，连接CD．
∵BE=BC，
∴∠E=∠BCE=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ECB，
∴BC平分∠ACE．
②如图2中，作BH⊥DE于H．
∵BC=BE，∠E=∠BCE=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∵BH⊥CE，
∴CH=HE，
∴BH=HC=HE，设BH=HC=HE=x，则CD=2x-7，
∵S△CDB=2，
∴×（2x-7）×x=2，
解得x=4或-（舍弃），
∴BH=CH=4，
∴BC=
=4．
（2）如图3，过B作BP⊥AC于P，以B为圆心BP为半径画圆交BC于P1，FP1有最小值，
此时在Rt△BPC中，CP=PB=4，AP=3，
∴AB=
=5，
∴BF=
，
∴BP1=4，
∴FP1的最小值为4-=；
如图，以B为圆心BC为半径画圆交AB的延长线于P2，FP2有最大值；
此时FP2=BC+BF=4+，
∴线段FP的最大值与最小值的和为4+4．
故答案为4+4．
（1）①如图2中，连接CD．只要证明∠ACB=∠ECB=45°即可；
②如图2中，作BH⊥DE于H．首先证明△BCE是等腰直角三角形，设BH=CH=HE=x，利用三角形的面积公式构建方程求出x即可解决问题；
（2）如图3，过B作BP⊥AC于P，以B为圆心BP为半径画圆交BC于P1，FP1有最小值，如图，以B为圆心BC为半径画圆交AB的延长线于P2，FP2有最大值，求出最大值和最小值即可解决问题；
此题考查三角形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答，属于中考压轴题．
24.【答案】解：（1）把
A（-1，-1）、C（0，2）代入y=-x2+bx+c得，-1-b+2=-1，
解得：b=2，
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+2；
（2）如图1，过A作AD ∥x轴交BC于D，
则AD⊥y轴，
∵y轴平分∠ACB，
∴y轴垂直平分AD，
∴A，D关于y轴对称，
∵A（-1，-1），
∴D（1，-1），
设直线BC的解析式为y=ax+b，
∴
，
∴
，
∴直线BC的解析式为y=-3x+2，
解
，
解得：
或
，
∴B（5，-13），
把A（-1，-1），B（5，-13）代入y=kx+m得
，
解得：k=-2；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
由题意可知：-k+m=-1，
∴m=k-1，
∴y=kx+k-1，
∴kx+k-1=-x2+2x+2，
解得，x1=-1，x2=3-k，
∴B（3-k，-k2+4k-1），
设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（
，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴
=
，
∴AM•BN=PN•PM，
∴1×（k2-4k+1）=（3-k-）（+1），
∵k＜0，
∴k=
．
【解析】
（1）把A（-1，-1）、C（0，2）代入y=-x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）过A作 AD∥x轴交BC于D，则AD⊥y轴，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到A，D关于y轴对称，求得D（1，-1），设直线BC的解析式为y=ax+b，得到直线BC的解析式为y=-3x+2，求出B（5，-13），把A（-1，-1），B（5，-13）代入y=kx+m解方程组即可得到结论；
（3）过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，求得m=k-1，解方程得到B（3-k，-k2+4k-1），设AB中点为O′，根据已知条件得到以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，求得O′P⊥x轴，求出P（
，0），根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查二次函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
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