2018-2019学年湖北省武汉市四校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）解析版

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2018-2019学年湖北省武汉市四校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

设某高中的男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-80.71，则下列结论中不正确的是（　　）

A. y与x有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该高中某男生身高增加1cm，则其体重约增加
D. 若该高中某男生身高为170cm，则可断定其体重必为
命题“”的否定是（　　）

A. B. ，使得
C. D. ，使得
如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　）

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
抛物线y=4x²的焦点坐标是（　　）

A. B. C. D.
已知，且，则x•y=（　　）

A. B. 2 C. D.
执行如图所示的程序框图，若输入n=5，A=4，x=2，则输出的A的值为（　　）

A. 27
B. 56
C. 113
D. 226

若（1+mx）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸且a₁+a₂+…+a₈=255，则实数m的值为（　　）

A. 1或 B. C. D. 1
当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是（　　）

A. B. C. D.
下列说法中正确的是（　　）

A. 若事件A与事件B是互斥事件，则
B. 若事件A与事件B满足条件：，则事件A与事件B是对立事件
C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件
设抛物线y²=6x与椭圆x²+=1相交于A、B两点，若F为抛物线的焦点，则△ABF的面积为（　　）

A. B. C. D.
空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为（　　）

A. B. C. D.
已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F₁、F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
甲、乙两位同学的5次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为______．
已知O为坐标原点，椭圆上的点M到左焦点F₁的距离为4，N为MF₁的中点，则ON的值等于______．
甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______（用数字作答）．
在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁P∥平面D₁AE，则点P形成的轨迹的长度为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知命题p：∀x∈R，ax²-2x+1≥0；命题q：函数在区间（-∞，0）上为减函数．
（1）若命题“（￢p）∨q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题，求实数a的取值集合；
（2）若集合A={x|（x-1）（x+2）＜0}，B={a|a²-4at+3t²≥0，其中t＞0}，a∈A是a∈B的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准．在本市居民中随机抽取的100户家庭某年的月均用水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求a、m的值，并估计全市所有家庭的月平均用水量；
（2）如果我们称m为这组数据中86%分位数，那么这组数据中50%分位数是多少？
（3）在用水量位于区间[1，3]的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取15人参加由政府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），在听证会上又在这15个人中任选两人发言，其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的概率是多少？
如图所示的三角形表，最早出现在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算术》一书中，我们称之为“杨辉三角”．若等比数列{a_n}的首项是1，公比是q（q≠1），将杨辉三角的第n+1行的第1个数乘以a₁，第2个数乘以a₂，……，第n+1个数乘以a_n₊₁后，这一行的所有数字之和记作f（n，q）．
（1）求f（4，3）的值；
（2）当q=x²+3x-5时，求f（4，q）展开式中含x项的系数．

已知抛物线y²=4x上不同的三点A、B、C，F为抛物线的焦点，且成等差数列，则当AC的垂真平分线与x轴交于点D（3，0）时，求B点的坐标．
如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B₁C₁内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．

已知椭圆C：的长轴长为4，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（2，0），过点B的直线l交椭圆C于E、F两点，求证：AE⊥AF．

答案和解析

1.【答案】D
【解析】

解：根据线性回归方程=0.85x-80.71，
回归系数=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心，B正确；
该大学某女生身高增加1cm时，则其体重约增加0.85kg，C正确；
当x=170cm时，=0.85×170-85.71=58.79kg，
即大学某女生身高为170cm，她的体重约为58.79kg，D错误；
故选：D．
根据线性回归方程及其意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．
本题考查了回归方程的意义与应用问题，是基础题．

2.【答案】B
【解析】

解：命题是特称命题，
则命题的否定是：∀x＞1，使得x²-1＜0，
故选：B．
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．

3.【答案】C
【解析】

解：由随机模拟试验可得：
=，
所以S_黑=≈9，
故选：C．
由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：=，所以S_黑=≈9，得解．
本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．

4.【答案】C
【解析】

解：抛物线y=4x²的标准方程为 x²=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选：C．
把抛物线y=4x²的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x²的方程化为标准形式，是解题的关键．

5.【答案】B
【解析】

解：=（1+2x，4，4+y），=（2-x，3，2y-2），
∵，
∴存在实数k使得=k（），
∴，解得x=，y=4．
∴x•y=2．
故选：B．
由，可得存在实数k使得=k（），利用向量相等即可得出．
本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】C
【解析】

解：模拟程序的运行，可得
n=5，A=4，x=2，
i=4，
满足条件i＞0，执行循环体，A=12，i=3
满足条件i＞0，执行循环体，A=27，i=2
满足条件i＞0，执行循环体，A=56，i=1
满足条件i＞0，执行循环体，A=113，i=0
不满足条件i＞0，退出循环，输出A的值为113．
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7.【答案】A
【解析】

解：若，则令x=0可得a₀=1，
令x=1，可得1+a₁+a₂+…+a₈=（1+m）⁸=1+255=256，
则实数m=1，或m=-3，
故选：A．
令x=0可得a₀=1，再令x=1，可得1+a₁+a₂+…+a₈=（1+m）⁸=1+255=256，由此求得m的值．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．

8.【答案】B
【解析】

解：由题意可得6-2m＞0，即有m＜3，
由c²=m²+8+6-2m=（m-1）²+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为：，即有渐近线方程为y=±x．
渐近线的斜率为±．
故选：B．
由题意可得6-2m＞0，即有m＜3，由c²=m²+8+6-2m=（m-1）²+13，可得m=1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．
本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．

9.【答案】D
【解析】

解：在A中，若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）≤1，故A错误；
在B中，若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+（B）=1，则事件A与事件B不一定是对立事件，故B错误；
在C中，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”能同时发生，不是对立事件，故C错误；
在D中，把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，
由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故D正确．
故选：D．
由互斥事件和对立事件的概念可判断结论．
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】B
【解析】

解：抛物线y²=6x的焦点坐标（，0），抛物线y²=6x与椭圆x²+=1相交于A、B两点，
则A（，），B（，）；
则△ABF的面积为：=．
故选：B．
求出抛物线的焦点坐标，求出A，B的坐标，然后求解△ABF的面积．
本题考查抛物线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．

11.【答案】C
【解析】

解：因为空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，
则=m+n，
又点P为该平面外一点，则
-=m（）+n，
所以（1+m）=+m+n，
又，
由平面向量的基本定理得：-x=1，即x=，
故选：C．
由平面向量基本定理及向量的线性运算得：=m+n，-=m（）+n，所以（1+m）=+m+n，又，得-x=1，即x=，得解．
本题考查了平面向量基本定理及向量的线性运算，属中档题．

12.【答案】B
【解析】

解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=8，
即有m=8，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，
则c＞2，即有2＜c＜4．
由离心率公式可得e₁+=+=+=，
由2＜c＜4可得c（4+c）的范围是（12，32），
即有的范围是（，）．
故选：B．
设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得m=8，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．

13.【答案】2
【解析】

解：甲的平均数为=（88+89+90+91+92）=90，
甲的方差为=[（88-90）²+（89-90）²+（90-90）²+（91-90）²+（92-90）²]=2，
乙的平均数为=（89+87+93+90+91）=90，
乙的方差为=[（89-90）²+（87-90）²+（93-90）²+（90-90）²+（91-90）²]=4．
∴成绩较稳定的那位学生成绩的方差为2．
故答案为：2．
利用茎叶图分别求出甲、乙二人的平均数、方差，由此能求出成绩较稳定的那位学生成绩的方差．
本题考查成绩较稳定的那位学生成绩的方差的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.【答案】3
【解析】

解：椭圆的a=5，
设右焦点为F₂，
根据椭圆的定义得：|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
|MF₁|=4，可得|MF₂|=6，
由于△MF₂F₁中N、O是MF₁、F₁F₂的中点，
根据中位线定理得：|ON|=|MF₂|=3，
故答案为：3．
首先根据椭圆的定义求出|MF₂|=6的值，进一步利用三角形的中位线求得结果．
本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理，考查运算能力，属于基础题．

15.【答案】210
【解析】

解：由题意知本题需要分组解决，
∵对于6个台阶上每一个只站一人有A₆³种；
若有一个台阶有2人另一个是1人共有C₃¹A₆²种，
∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A₆³+C₃¹A₆²=210种．
故答案为：210．
由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于6个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．
分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整--完成了所有步骤，恰好完成任务．

16.【答案】
【解析】

解：取B₁C₁，BB₁的中点M，N，连接A₁M，A₁N，
则A₁N∥D₁E，MN∥BC₁∥AD₁，
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
∵A₁P∥平面D₁AE，
∴P在线段MN上，即P的轨迹为线段MN．
∵正方体棱长为2，
∴BC₁=2，故MN=BC₁=．
故答案为：．
过A₁作平面D₁AE的平行平面，求出此平面与平面D₁AE的交线即可．
本题考查了线面平行的判定与性质，属于中档题．

17.【答案】解：（1）若命题“（￢p）∨q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题，
则￢p，q一个为真命题，一个为假命题，
即p，q同时为真命题或同时为假命题，
若p，q同时为真命题，
则当a=0时，不等式等价为-2x+1≥0，不满足条件．
当a≠0时，要使不等式恒成立，则，即，得a＞1，即p：a＞1；
若函数在区间（-∞，0）上为减函数，则a＜0，即q：a＜0，
若p，q同时为真命题，则，此时a无解
若p，q同时为假命题，则，得0≤a≤1．
即实数a的取值范围是[0，1]．
（2）A={x|（x-1）（x+2）＜0}={x|-2＜x＜1}，
B={a|a²-4at+3t²≥0，其中t＞0}={a|（a-t）（a-3t）≥0}={a|a≥3t或a≤t，其中t＞0}，
若a∈A是a∈B的充分不必要条件，
则A⊊B，
即t＞1或3t＜-2（舍），
即实数t的取值范围是（1，+∞）．
【解析】

（1）根据命题“（￢p）∨q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题得到p，q命题真假性相同，然后进行求解即可．
（2）求出结合A，B的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合的子集关系进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．

18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a）×0.5=1，
解得a=0.09．
由频率分布直方图得：
区间在[0.5，3）内的频率为：1-（0.16+0.09+0.09）×0.5=0.83，
∵计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，
使得86%的居民生活用水不超过这个标准，
∴m=3+=3.09375．
（2）区间在[0.5，2）的频率为：（0.16+0.30+0.40）×0.5=0.43，
区间在[2，2.5）的频率为0.50×0.5=0.25，
∴这组数据中50%分位数是：2+=2.07．
（3）在用水量位于区间[1，3]的四类家庭中按照分层抽样的方法
抽取15人参加由政府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），
家庭用水量超过两吨的抽取：15×=8，
在听证会上又在这15个人中任选两人发言，
基本事件总数n==105，
其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的对立事件是两人的家庭用水量都不超过两吨，
∴其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的概率是：p=1-=．
【解析】

（1）由频率分布直方图的性质能求出a；由频率分布直方图得：区间在[0.5，3）内的频率为0.83，由此能求出m．
（2）区间在[0.5，2）的频率为0.43，区间在[2，2.5）的频率为0.25，由此能求出这组数据中50%分位数．（3）家庭用水量超过两吨的抽取8，在听证会上又在这15个人中任选两人发言，基本事件总数n==105，其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的对立事件是两人的家庭用水量都不超过两吨，由此能求出其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的概率．
本题考查频率分布直方图、分层抽样，概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：（1）由题意知，f（4，3）=1×1+4×3+6×3²+4×3³+1×3⁴=266；
（2）当q=x²+3x-5时，f（4，q）=1×1+4×（x²+3x-5）+6×（x²+3x-5）²+4×（x²+3x-5）³+1×（x²+3x-5）⁴，
展开式中含x项的系数为4×3+6××3×（-5）+4××3×（-5）²+×3×（-5）³=12-180+900-1500=-768．
【解析】

（1）由题意写出f（4，3）计算公式，求出即可；
（2）把q=x²+3x-5代入f（4，q）的计算公式，利用二项式展开式的定义求展开式中含x的系数．
本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了等比数列的应用问题，是中档题．

20.【答案】解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由||，||，||成等差数列，则2||=||+||，
即2x₂=x₁+x₃，
∴直线AC的斜率为k===，
∴y₁+y₃=；
设AC中点为（x₂，），
则线段AC的垂直平分线方程为y-=-（x-x₂），
令y=0，得x=2+x₂，
∴x₂=1，代入y²=4x得y=±2，
则点B的坐标为（1，2）或（1，-2）．
【解析】

设出点A、B、C的坐标，根据||，||，||成等差数列得出2x₂=x₁+x₃，
利用定义求出直线AC的斜率k，再求出AC的中点，写出AC的垂直平分线方程，从而求得点B的坐标．
本题考查了抛物线的简单几何性质与方程的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是中档题．

21.【答案】解：（Ⅰ）因为AA₁⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC⊂平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为=AC•BC•r，又因为AC²+BC²=AB²=4r²，
所以=2r²，当且仅当时等号成立，
从而V₁≤2r³，而圆柱的体积V=πr²•2r=2πr³，
故P=，当且仅当，即OC⊥AB时等号成立，
所以P的最大值是．
P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，设OB为y轴的正半轴，OC为x轴正半轴，OO₁为z轴的正半轴，
则C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因为BC⊥平面A₁ACC₁，所以是平面A₁ACC₁的一个法向量，
设平面B₁OC的法向量，由得，故，
取z=1得平面B₁OC的一个法向量为，因为0°＜θ≤90°，
所以===．
【解析】

（1）欲证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A₁ACC₁；
（2）根据AC²+BC²=AB²为定值可求出V₁的最大值，从而得到P=的最大值，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一个法向量与平面B₁OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．

22.【答案】解：（1）由题意可得，解得a=2，b=，
∴椭圆C的方程为+=1，
证明：（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设过点B的直线方程为x=my+，代入椭圆方程+=1，
消x可得（3m²+4）y²+my-=0，
∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-，
∴•=（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，
=（my₁-）（my₂-）+y₁y₂，
=（m²+1）•y₁y₂-（y₁+y₂）+
=-（m²+1）++•+
=（-++1）=0，
∴⊥，
∴AE⊥AF．
【解析】

（1）由题意可得，解得即可求出椭圆的方程，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过点B的直线方程为x=my+，代入椭圆方程+=1，根据韦达定理和向量的运算可得到•=0，即可证明．
本题考查饿了椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系，考查了韦达定理，向量的运算等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．

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2018-2019学年湖北省武汉市四校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）解析版

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