华中师大一附中2018-2019学年度上学期高一期中检测
数学试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
，
，则 
A. {-1,0} B．{0,1} C． {-1,0,1} D．{0,1,2}
2．已知函数
在
上的图像是连续不断的一条曲线, 在用二分法研究函数
的零点时, 第一次计算得到数据: 
，根据零点的存在性定
理知存在零点
, 第二次计算 , 以上横线处应填的内容为
A．
B．
C．
D．
3．设集合
，集合
，下列对应关系中是从集合
到集合
的映射的是
A．
B．
C．
D．
4．函数
的定义域为
A．
B．
C．
D．
5．方程
的根所在的区间为
A． 
B． 
C． 
D．
6. 函数
的图像是
7. 在
, 
, 
这三个函数中，当
时，使
恒成立的函数的个数是
A． 
个 B． 
个 C． 
个 D． 
个
8．已知
在
上是关于
的减函数，则实数
的取值范围是
A． B．
C．
D． 
9. 如图所示的
个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序 (其中
表示离开家的距离,
表示离开家的时间) 为
① 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
② 我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③ 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A.（1）（2）（4） B.（4）（1）（3） C.（1）（2）（3） D.（4）（1）（2）
10．若关于的方程
且
有实数解,则实数
的取值范围是
A．
或
B．
C． D．
11. 已知函数
是定义在
上的奇函数, 在区间
单调递增且
．若实数满足
, 则实数的取值范围是
A． 
B．
C． 
D．
12. 已知函数
,则使方程
成立的整数的个数是
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 无穷多个
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13. 已知函数
，则
= ▲ .
14．若幂函数
在
上是减函数，则实数的值为
▲
15．实数
，
,
，则实数
的大小关系为 ▲
16．设函数
，那么函数
的零点的个数为
▲ ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
已知实数集，集合
，集合
（Ⅰ）当
时，求
；
（Ⅱ）设
，求实数的取值范围.
18. （本小题满分10分）
某自来水厂的蓄水池有
吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水
吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为
吨，其中
.
(Ⅰ) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？
(Ⅱ) 若蓄水池中水量少于
吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的
小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？
19.（本小题满分12分）
记 
, 若函数
.
（Ⅰ）用分段函数形式写出函数
的解析式；
（Ⅱ）求不等式
的解集.
20．（本小题满分12分）
已知函数
的定义域为, 且对任意实数恒有 
且
) 成立.
(Ⅰ) 求函数的解析式；
(Ⅱ) 讨论在上的单调性, 并用定义加以证明.
21．（本小题满分13分）
已知函数
.
(Ⅰ) 若函数的定义域为
,求实数的值;
(Ⅱ) 若函数的定义域为,值域为
,求实数的值;
(Ⅲ) 若函数在上为增函数, 求实数的取值范围.
22．（本小题满分13分）
设函数
（
为实常数）．
（Ⅰ）当
时，证明：函数不是奇函数；
（Ⅱ）设函数是实数集上的奇函数，求
与
的值；
（Ⅲ） 当为奇函数时,设其定义域为，是否存在同时满足下列两个条件的区间
: (1) 
, (2) 对任何
, 都有
成立？ 若存在，求出这样的区间；若不存在，请说明理由．
高一年级数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. A 2. D 3. C 4. B 5. A 6. A
7. C 8. B 9. D 10. B 11. D 12. B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 
14. 
15. 
(或填
) 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. 解：（Ⅰ）当时，
. ∵
∴
或
故 
或
……… 5分
（Ⅱ）∵，
，，∴
故实数的取值范围为
……… 10分
18. 解：(Ⅰ) 设供水小时，水池中存水
吨．则
当
时，
， ……… 5分
故从供水开始到第
小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为
吨．
(Ⅱ) 依条件知 
解得： 
∴ 
答：一天小时内大约有
小时出现供水紧张. ……… 10分
19． 解：（Ⅰ）
由
得: 
化简得
,解得:
;
同理由
解得: 
.
所以 
． ……… 6分
（Ⅱ）不等式等价于 
或 
解得：
或 
，
所以不等式的解集为
． ……… 12分
20．解: (Ⅰ) ∵对任意实数恒有: ……①
用
替换 ①式中的有: 
……②
①×②－②得: 
……… 6分
(Ⅱ) 当
时,函数
为单调减函数, 函数
也为单调减函数
∴ 
在上为单调减函数.
当
时, 函数为单调增函数, 函数也为单调增函数
∴ 在上为单调增函数.
证明: 设任意
且
, 则
, ∵ ,
(1) 当时, 则 
, 
, 
, 
∴ 在上是减函数.
(2) 当时, 则 
, , , 
∴ 在上是增函数.
综上: 当时, 在上是单调减函数;
当时, 在上是单调增函数. ………12分
21．解: (Ⅰ) 依题意知
的解集为,所以方程
的解为:
, 根据韦达定理得: 
,解得:
,
即实数的值为. ………4分
(Ⅱ) 因为函数的值域为. ∴ 
, 又
而函数的定义域为 ∴
的最小值
. ,
而
, ∴ 
, 解得: 
,即 
,
所以实数的值为或
; ………8分
(Ⅲ) 因为在上为增函数, 函数
在
上是减函数, 所以函数在上为减函数且
,
∴
解得:
, 即
, 故实数的取值范围为
.
………13分
22．解：（Ⅰ）举反例即可．
，∵ 
，
， 所以
， ∴不是奇函数. ………3分
（Ⅱ）∵是奇函数，∴
，即
对定义域内任意实数成立． 化简整理得
，这是关于的恒等式，所以
所以
或
． 又因为函数的定义域为,所以不合题意. 综上 
………7分
（Ⅲ）（1）当时，的定义域为， 
，
因为
，所以
，
，从而
；
而
对任何实数
成立； 
∴ 只要、是实数都有成立.
∴可以是实数集的任何非空子集, 即
,对任何、属于，都有
成立．
（2）当时， 则 
，
或
当
时，
；当
时，
；
（1）取
，对任何、属于，都有成立．
（2）当
,
时，
，解不等式
得：
．
所以取
，对任何属于的、，都有成立．
(注:若学生给出的区间是所求区间的一个具体的子区间，只要每一种情况都有也给满分) ………13分
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