专题14 用函数的思想看图形的最值问题
【例1】（2019·河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－
与抛物线y=ax2+bx+
交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.
（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；
（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.
【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：
0＝2k﹣
，
解得：k＝
，
故一次函数表达式为：y＝
x﹣
，则点C坐标为（﹣8，﹣
），
将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：
函数表达式为：y＝﹣
x2﹣
x+
；
（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，
∴∠DFE＝∠OBA，
点D的横坐标为m，则点D（m，﹣
m2﹣
m+
），点F（m，
m﹣
），
DF＝﹣
m2﹣
m+
﹣(
m﹣
）
＝﹣
m2﹣
m+4，
由勾股定理得：AB＝
，
∵sin∠DFE＝sin∠OBA＝
，
∴DE＝DF•sin∠DFE
＝
（﹣
m2﹣
m+4）
＝﹣
（m+3）2+5，
∴当m=－3时，DE的最大值为5；
（3）设三角形向左平移t个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，
则平移后点A、O、B的坐标分别为（﹣t+2，n）、（﹣t，n）、（﹣t，﹣
+n），
∵O、B在竖直线上，
∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上，
①当点O、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝
，
即点A′（﹣
，
）．
②当点B、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝4，
即点A′（﹣2，3）．
综上所述，点A’的坐标为（﹣
，
）或（﹣2，3）.
【变式1-1】（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.
图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=
，b=
，
∴抛物线解析式为y＝
x2
x+2；
（2）在y＝
x2
x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
∵P（m，
m2
m+2），PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∴PG＝
m2
m+2﹣（﹣m）
＝
+
，
∵∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝
PG
＝
+
，
∴当m＝
时，l有最大值，最大值为
.
【例2】（2019·省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），
∴c=-3，1+b+c=0，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，-3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝45°，
可得△PDE是等腰直角三角形，
由A（﹣3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，
C△PDE=PE+PD+DP
=PE+
PE+
PE
=（
+1）PE，
设P（m，m2+2m﹣3），则E(m，－m－3)，PE=－m2－3m
C△PDE=（
+1）（－m2－3m）
=－（
+1）（m+
）2+
（
+1），
∴当m=－
时，△PDE的周长越大，此时P点坐标为（－
，－
）.
【变式2-1】（2019·平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=
，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=
过点A（1，3）、B（0，1），
∴
，解得：
，
即抛物线的表达式为：y=
，
y=
=
，
∴顶点坐标为：
；
（2）∵A（1，3），由对称轴可知C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3），
得直线BC的解析式为：
，BC=
，
由题意知，∠ACB=∠FGH，
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∴BI=2，CI=4，
由△BCI∽△FGH，得：
,
即
，
∴
，
，
即△GFH的周长为：C=FH+GH+FG=
，
设G(m, 
)，则F(m, 
)，
∴C=
=
=
∴当m=2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：
.
【例3】（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与直线
交于点C(0，-3)，直线
与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∵C(0,-3)，
∴c=-3，
将A、B坐标代入y=ax2+bx-3得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2
x－3.
（2）
中，当y=0时，x=2，即D(2,0)，
连接OP，
设P(m，
m2
m－3)，其中：0<m<4，
S△PCD=S△ODP+S△OCP－S△OCD
=
=
，
∵
<0，
∴当m=3时，△PCD的面积取最大值，最大值为
，此时P点坐标为（3，
）.
【变式3-1】（2018·河南第一次大联考）如图，抛物线
与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴
为x=–1，P为抛物线上第二象限的一个动点．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；
（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意得：
，解得：a=－1，b=－2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=－x2－2x+3；
（2）在y=－x2－2x+3中 ，y=2时，得：
2=－x2－2x+3，
解得：x=－1+
或x=－1－
，
∵点P在第二象限，
∴x=－1－
，
即点P的横坐标为：－1－
；
（3）连接AC，过P作PE⊥x轴交AC于E，
设直线AC的解析式为：y=kx+n，
得：n=3，－3k+n=0，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
S四边形PABC=S△ABC+S△APC
=
×4×3+
×PE×OA
=
PE，
设P（m，－m2－2m+3）,则E点坐标为（m，m+3）,
∴PE=－m2－2m+3－（m+3）=－m2－3m，
∴S四边形PAOC=
PE
=
（－m2－3m）
=－
（m+
）2+
,
∵－
<0，
∴点P在运动过程中，当m=－
时，四边形PABC面积最大，最大值为
，此时点P的坐标为（－
，
）.
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