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2021学年高一下学期入学考试数学（一）

2021学年高一下学期入学考试数学（一）

一、单选题

1．数列，3，，，…，则是这个数列的第（    ）

A．8项 B．7项 C．6项 D．5项

【答案】C

【解析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案．

【详解】

解：数列，3，，，，

可化为：数列，，，，，

则数列的通项公式为：，

当时，则，

解得：，

故是这个数列的第6项.

故选：C．

【点睛】

本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．

2．式子的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】D

【解析】利用两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可．

【详解】

解：根据题意，．

故选：D．

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．

3．等比数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由等比数列的性质，若，则，将已知条件代入运算即可.

【详解】

解：因为等比数列中，，

由等比数列的性质可得，

所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.

4．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．4 B．8 C．16 D．24

【答案】B

【解析】根据等差数列的等和性与前项和的公式求解即可.

【详解】

由得,即故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的等和性与前项和的公式,属于基础题.

5．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据辅助角公式、诱导公式和余弦的倍角公式进行转化即可得到结论．

【详解】

解：因为，根据辅助角公式化简得：

，

即：，

又因为

，

即：.

故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的辅助角公式、诱导公式和余弦的倍角公式是解决本题的关键．

6．某船在海平面处测得灯塔在北偏东60°方向，与相距6千米处该船由处向正北方向航行8千米到达处，这时灯塔与船相距（    ）

A．千米 B．千米 C．6千米 D．8千米

【答案】A

【解析】由题意画出示意图，利用余弦定理解三角形即可求得结果．

【详解】

解：由题意，示意图如下：

已知，，，

由余弦定理得：

，

所以．

所以灯塔与船之间的距离为：千米.

故选：A．

【点睛】

本题考查了余弦定理的实际应用，考查计算能力．

7．函数的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】A

【解析】根据二倍角的余弦公式化简得函数，且，再利用二次函数的性质求得的最小值，从而求得结果．

【详解】

解：函数，

而，则，

故当时，函数取得最小值为-2，

函数的最小值为-2.

故选：A．

【点睛】

本题考查正弦函数的定义域和值域，以及二倍角的余弦公式的应用，还利用二次函数的性质求函数最值．

8．已知终边与单位圆的交点，则的值等于（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】先根据条件，利用三角函数的定义判断角所在的象限，得出，再对所求式子利用二倍角公式化简即可．

【详解】

解：终边与单位圆的交点，可知为第二象限角，

则，

由于

.

故选：C．

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系和二倍角正弦、余弦公式的应用，以及三角函数的定义，考查运算能力．

9．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B.

10．数列的前项和为，若，则（ ）

A．20 B．15 C．10 D．-5

【答案】A

【解析】试题分析：当时，适合上式，

所以，所以因为，所以，选A

【考点】等差数列的性质

11．在中，边上的高等于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出，，再由三角形面积公式，可得．

【详解】

解：在中，，边上的高等于，

，

由余弦定理得：

，

故的面积为：

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形中的几何计算，涉及余弦定理和三角形面积的应用，考查化简计算能力．

12．在中，已知，给出以下四个论断

①

②

③

④

其中正确的是（    ）

A．②④ B．①③ C．①④ D．②③

【答案】A

【解析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得进而求得进而求得①等式不一定成立，排除①；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；不一定等于1，排除③；利用同角三角函数的基本关系可知，进而根据可知，进而可知二者相等，得④正确．

【详解】

解：，，

，

则：，即：，

整理求得，

，

不一定成立，①不正确；

，

由于，则：，

，

，所以②正确；

，

，

所以，所以④正确；

而不一定成立，故③不正确；

综上知②④正确.

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和公式、正弦函数的性质、三角形的内角关系等知识的应用，考查了学生综合分析问题和推理运算能力．

二、填空题

13．已知中，，那么________．

【答案】45°

【解析】直接利用正弦定理即可得解．

【详解】

解：由正弦定理可得：，

即，

又因为，

即，则，

所以.

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题．

14．等差数列的前项和为，若，则________．

【答案】18

【解析】根据题意，由成等差数列，列方程组，解方程即可得出的值.

【详解】

解：由题可知，为等差数列的前项和，

由等差数列的性质可知，成等差数列，

即：，

因为，

则：，

解得：.

故答案为：18.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的性质和等差中项的应用，考查计算能力.

15．若，则________．

【答案】

【解析】根据题意，将两个式子同时两边平方得，再两式相加，结合同角三角函数的平方关系和两角和与差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】

解：由题知，，

则

即：

则①+②得：，

解得：，

则.

即：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数求值，涉及了同角三角函数的平方关系以及两角和与差的正弦公式的应用.

16．设函数，其中，若且图象的两条对称轴间的最近距离是．若是的三个内角，且，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求，，结合范围，可求，由题意可求周期为，利用周期公式可求，从而可得函数解析式，由题意可得，结合范围，可解得，从而，利用三角函数恒等变换的应用可将化为，结合范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围．

【详解】

解：由题知，，

，得，，

，取，得，

函数图象的两条对称轴间的最近距离是，

周期为，得，

得．

由，得，

是的内角，，

，得，

，从而．

由

， 

，，

，即，，

因此，的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想．

三、解答题

17．计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）； （2）0.

【解析】（1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.

（2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案.

【详解】

解：（1）由

．

；

（2）由，

可得，

所以

，

故原式.

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.

18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.

（1）求的面积；

（2）求边的长.

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．

详解：（1）在中，由余弦定理得

，

∵为三角形的内角，

，    

 ，

 ．

（2）在中，，

由正弦定理得：

∴．

点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用．

19．    已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=，设b_n=，n∈N．

（1）证明{b_n}是等比数列（指出首项和公比）；

（2）求数列{log₂b_n}的前n项和T_n．

【答案】（1）见解析；（2）T_n=.

【解析】【详解】试题分析：（1）由a_n+1=，得=2·，再利用等比数列的定义即可得出．

（2）由（1）求出通项得log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1，利用等差数列求和即可.

试题解析：

（1）由a_n+1=，得=2·．所以b_n+1=2b_n，即．

又因为b₁=，所以数列{b_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．

（2）由（1）可知b_n=1·2^n-1=2^n-1，所以log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1．

则数列{log₂b_n}的前n项和T_n=1+2+3+…+（n-1）=．

点睛：证明等比数列的一把方法有两个：

(1).定义法，即;

(2).等比中项法：.

20．已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）在中，内角的对边分别为，已知成等差数列，且，求边的值．

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）首先利用辅助角公式进行化简，将函数的关系式变形成正弦型函数，利用整体代入法，进一步求出函数的单调增区间；

（2）由（1）结合，求得，利用余弦定理即可求出边的值．

【详解】

（1），

令．

则．

的单调增区间为

（2）由，得，

，

，

，

又

由余弦定理得，

，．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．

21．已知分别是角的对边，满足

（1）求的值；

（2）的外接圆为圆(在内部)，，判断的形状，并说明理由.

【答案】（1）；（2）等边三角形.

【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.

试题解析：（I）由正弦定理可知,, 则

,

,

可得.

（II）记中点为，

故,圆的半径为,

由正弦公式可知,故,

由余弦定理可知,, 由上可得,又,则,故

为等边三角形.

【考点】正弦定理、余弦定理解三角形.

22．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.

（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；

（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.

【答案】（1），定义域为；

（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．

【解析】（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；

（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.

【详解】

（1）由题意，在中，，，，，

中，，，，又，

，

所以，即.

当点在点时，这时角最小，求得此时；

当点在点时，这时角最大，求得此时.

故此函数的定义域为；

（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求的周长的最小值即可．

由（1）得，，

设，，

则，

由，得，，则，

从而，当，即当时，，

答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．

【点睛】

本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

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