方阵问题
夯实基础
1.在一个正方形花坛的四周栽树，要求4个顶点各栽1棵，每边只栽10棵，共栽了（ ）棵树．
A.36 B.32 C.48 D.40
【答案】A
【解析】
试题分析：此题可以看做是空心方阵问题，四周点数=每边点数×4﹣4，由此即可解答．
解：10×4﹣4=36（棵），
答：一共栽了36棵树．
故选：A．
2.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（ ）名学生．
A.44 B.48 C.52 D.40
【答案】A
【解析】
试题分析：因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．
解：12×4﹣4，
=48﹣4，
=44（人），
答：共有44人．
故选：A．
3.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（ ）盏彩灯．
A.40 B.76 C.44 D.50
【答案】B
【解析】
试题分析：这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．
解：20×4﹣4=76（盏），
答：一共需要76盏灯．
故选：B．
4.王大伯在正方形鱼塘的四周栽树，每边栽5棵，王大伯最少能栽 棵，最多能栽 
棵．
【答案】16，20．
【解析】
试题分析：要使植树的棵数最少，那么四个顶点都栽树，则植树棵数=每边植树棵数×4﹣4；要使植树的棵数最多，那么四个顶点都不栽，则栽树棵数=每边栽树棵数×4，据此计算即可解答．
解：植树的棵数最少是：
5×4﹣4
=20﹣4
=16（棵）
植树的棵数最多是：
5×4=20（棵）
答：王大伯最少能栽 16棵，最多能栽20棵．
故答案为：16，20．
5.在一个正方形操场的四周插上红旗，4个角上也插上红旗，如果每条边上插15面，那么四周一共插了 面红旗．
【答案】56
【解析】
试题分析：每一边上都插了15面红旗，那么15×4=60（面），其中四个角的红旗重复加了一次，所以要减去，即可得出红旗的总面数．
解：15×4﹣4，
=60﹣4，
=56（面），
答：四周一共插了56面红旗．
故答案为：56．
6.36个同学围成一个正方形，相邻两人之间的距离相等．每条边上站了 人．
【答案】10
【解析】
试题分析：因为围成一个封闭图形，所以间隔数等于总人数36个，因为是正方形，所以每边上有36÷4=9个间隔，则每边上的人数等于间隔数加1即可解答．
解：36÷4+1，
=9+1，
=10（个）．
答：每边上站了10人．
故答案为：10．
7. 一个正方形游泳池的四周要安装护栏，每边安装10根，每个顶点都要安装，一共要安装多少根？
【答案】36根
【解析】
试题分析：每个边上安装10根，一共是4个边，所以是10×4根，但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是一共要安装的根数。
解：10×4-4
=40-4
=36（根）
答：一共要安装36根。
8. 在一块正方形场地四周种树，每边都种25棵，并且四个顶点都种有1棵树，问这个场地四周共种树多少棵？
【答案】96棵
【解析】
试题分析：根据题意，在一块正方形场地四周种树，每边都种25棵，可知一共是25×4=100（棵），因为四个顶点都种有一棵树，顶点上的树，它是两条边的交点，在数树时，每个顶点上的树都重复数了一次，因此要减去4就是所求的结果．
解：25×4=100（棵），
因每个顶点上的树数重复了，
所以这个场地四周共种树是：100﹣4=96（棵）．
答：一共栽了96棵树．
9.四年级1班49人排成一个方队．这个方队最外围一共有多少人？
【答案】24人
【解析】
试题分析：先根据方阵总人数=每边人数×每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数=每边人数×4﹣4计算出最外层四周人数即可．
解：因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，
7×4﹣4
=28﹣4
=24（人）；
答：这个方队的最外围一共有24人．
10.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？[来源:学科网]
【答案】64名
【解析】
试题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？
解：8×8=64（人）
答：排列这个方阵，共需要64名同学。
11.同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？
【答案】81人
【解析】
试题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数。
解：9×9=81（人）
答：这个方阵一共有81人。
12.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
【答案】棋子共有64粒,最外层有28粒
【解析】
试题分析:棋子排成每边8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可见
棋子总数是8个8粒,即8×8=64粒,最外层的棋子数可按公式:一周总点数=每边粒数×4-4求得.[来源:学科网ZXXK]
解:8×8=64(粒)
8×4-4=32-4=28(粒)
答:棋子共有64粒,最外层有28粒.
拓展提高
1.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?
【答案】在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵
【解析】
试题分析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（1）（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等。即最外层杨、柳树分别为
（7-1）×4÷2=12（棵）。[来源:学科网]
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。
解：（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：（7×7+1）÷2=25（棵）
柳树：7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵）
杨树7×7-25=24（棵）
答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
2.四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
【答案】方阵最外层每边的人数是6人，整个方阵共有36人
【解析】
试题分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解：（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人）
3.小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
【答案】10枚
【解析】
解：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数。
因为10×10＝100（枚），并且是实心的方阵，所以最外层有10枚。
4.学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
【答案】256人
【解析】
解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
5.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
【答案】144盆
【解析】
解：由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆。
答：一共摆了144盆。
6.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
【答案】32人
【解析】
解：9×9＝81（人）
（9-2）×（9-2）＝49（人）
81-49＝32（人）
答：要减少32名
运动员。
7.在一个正方形的每条边上放8枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？
最少能摆多少枚？（用○表示棋子）
【答案】
【解析】
试题分析：四个角都不放时，需要的花盆数最多，利用每边盆数×4计算即可；四个角都放时，需要的花盆数最少，根据每边盆数×4﹣4即可解答；
解：如图：
8×4=32（枚），
8×4﹣4=28（枚），
答：最多需要32枚，最少需要28枚．
8.一个实心方阵，最外层共有44人．请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人？
【答案】（1）144人；（2）减少了108人．
【解析】
试题分析：（1）因为方阵的四个角上都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）÷4=12人；
（2）减少一半就是由原来的12行12列，减少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，进而算出减少的即可．
解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：这个方阵共有144人．
（2）减少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共减少了108人．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
9.有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多
少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
【答案】方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人
【解析】
试题分析：（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10=100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数=（每边的人数﹣1）×4”解答；
（2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人；
（3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人．
解：（1）最外层：（10﹣1）×4=36（人），
（2）从外向里算起的第二层：36﹣8=28（人），
（3）从里向外算起的第三层：4+8+8=20（人），
答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人．
10.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？
【答案】5层，160人
【解析】
解：（48-16）÷8+1＝5（层）
（48+16）×5÷2＝160（人）
答：这个方阵有5层，一共有160人。
11. 解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
【答案】128人
【解析】
解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）
（3）空心方阵人数：（6-2）×（6
-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）
小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）
解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。
（1）每个长方形的长=外边人数-层数，12-4=8（人）；（2）每个长方形的宽是层数：4人；
（3）总人数：8×4×4=128（人）
12.一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
【答案】144人
【解析】
解：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数＝20×20－（20－4）×（20－4）[来源:学*科*网]
＝400－256＝144（人）
13.同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？
【答案】84人
【解析】
试题分析 要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人。
解：[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）
答：这个方阵共有84人。
巅峰突破
1.参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
【答案】289人
【解析】
试题分析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1。
解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17人，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17＝289（人）。
2.军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
【答案】要去掉13人；还剩下36人
【解析】
解：如下图：
方法一：去掉的一行一列的人数为：7×2－1＝13（人）
剩下的人数为：7×7-13＝36（人）
方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6＝36（人）
去掉的人数为：7×7-6×6＝13（人）
3.设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
【答案】21人
【解析】
试题分析:可利用公式:“中空方阵最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数”求得。
解：360÷4÷6+6
=90÷6+6
=15+6
=21（人）
答：最外层每边应安排21人。
4. 用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？
【答案】51粒
【解析】
解:24×24=576（粒）
576÷4÷3+3
=48+3
=51(粒)
答:最外层每边棋子数为51粒。
5.有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？
【答案】220人
【解析】
解：60÷4+1=16（人）……最外每边人数
16×16=256（人）……实心方阵总人数
28÷4+1=8（人）……最里层每边人数
（8-2）×（8-2）=36（人）……最里实心方阵
256-36＝220（人）……总人数
6.仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？
【答案】44人
【解析】
解：（64+8）÷2=36（人） 36+8=44(人) 增加人数
或 64÷4÷2+2=10(人) (10+2)×4-4=44(人)
7.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
【答案】这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子
【解析】
试题分析：（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解：（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个）
（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个）
答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
8. 一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？
【答案】40只
【解析】
试题分析：先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数。
解：纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4＋9=13(只)
若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：(13+1)÷2=7(只)
原来棋子只数是：7×7-9=40(只)
答：有棋子40只。
9.同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？
【答案】148人
【解析】
试题分析：我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和。
解：先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108÷4÷3+3=12（人）
因为每向里一层,每条边上的人数就少2，所以：
（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）；
（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）；
女同学总人数为:112+36=148(人)。
10.某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人？
【答案】239人
【解析】
试题分析：排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后相加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数。
解：（1）从外向内第五层有多少人？
15+21=36（人）
（2）从外向内第四层有多少人？
36+8=44（人）
（3）从外向内第三层有多少人？
44+8=52（人）
（4）从外向内第二层有多少人？
52+8=60（人）
（5）最外层有多少人？
60+8=68（人）
（6）四年级一共有多少人？
44+52+60+68+15=239（人）
答：四年级的学生一共有239人。
11. 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？
【答案】230人
【解析】
试题分析：排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。
解：（1）原来方阵中每排有多少人？
（5+26-1）÷2=15（人）
（2）四年级共有多少人？
15×15+5=230（人）
答：育英小学四年级有230人。
12.一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？
【答案】144人
【解析】
解：（1）44÷4+1=12（人）
（2）12×12=144（人）
（3）28÷4+1=8（人）
（4）（8-2）×（8-2）=36（人）
（5）144-36=108（人）……空心方阵人数
13.学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？
【答案】144人
【解析】
解：（23+1）÷2=12（人）
12×12=144（人）
或 （23-1）÷2+1=12（人）
12×12=144(人)……高年级人数
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