上海市浦东新区第二工业大学附属龚路中学2018-2019学年九年级（上）第一次调研数学试卷（五四学制）
一、选择题【本大题共6题，各题的四个选项中，只有一个选项是正确的．每题4分，满分24分】
1．（4分）如图，已知
是
上一点，如果
，
，点
，
分别在
，
上，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）下列各命题中，真命题的是（ ）
A．矩形都相似
B．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似
C．一个角为
的两个等腰三角形一定相似
D．有一个锐角相等的两直角三角形相似
3．（4分）在
中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）三角形三边之比为
，与它相似的另一个三角形的最长边为
，则这个相似三角形的最短边为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）已知
，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，
平分
，
，与
一定相似的三角形为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题【本大题共12题，每题4分，满分48分】
7．（4分）已知x是2和6的比例中项，则
．
8．（4分）已知
，那么
．
9．（4分）如图，中，如果，
，那么
．
10．（4分）如图，
，
，
，
，则
．
11．（4分）在比例尺是
的交通游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为 
．
12．（4分）如图，点
在线段上，
，
，
，则
．
13．（4分）如图，中，
，
，则
．
14．（4分）两个相似三角形的相似比为
，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为 ．
15．（4分）如图，已知在中，
，
，点
为重心，
，垂足为点
，那么
．
16．（4分）点是线段的黄金分割点，
，若
，则
．
17．（4分）
中，
，
，点
在
上，且
，若要在
上找一个点
，使
与相似，则
．
18．（4分）如图，在中，
，
，点是的中点，以直线
为折痕，将
翻折到△
处，
与直线相交于点，则线段
的长为 ．
三、（本题共有7题，第19～22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题，14分；满分78分）
19．（10分）已知：
，
，求：代数式
的值．
20．（10分）已知，如图，点为内一点，、、点分别为线段、、上一点，且
，
．
（1）求证：；
（2）当
时，求
的值．
21．（10分）已知：如图，在中，，，若
，
，
，求：四边形
的周长．
22．（10分）如图，点是菱形
的对角线上一点，连接
并延长，交于点，交
的延长线于点．
（1）求证：
；
（2）若菱形边长为8，
，
，求
的长．
23．（12分）如图，在中，
，是边上的高，点在线段
上，
，垂足分别为，．
求证：（1）
；
（2）
．
24．（12分）如图，在矩形中，
，
，对角线、交于点
，点在延长线上，联结
，
，
分别交线段、边、对角线于点、、（点不与点
、重合）．
（1）当点是线段的中点，求
的长；
（2）设
，
，求
关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当
是等腰三角形时，求
的长．
25．（14分）如图，已知在梯形中，
，
，
，是边上一点，
，点是射线上一点，联结
交射线于点，
（1）求的长；
（2）若点在的延长线上，设
，
，求与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当
时，求
的长．
上海市浦东新区第二工业大学附属龚路中学2018-2019学年九年级（上）第一次调研数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题【本大题共6题，各题的四个选项中，只有一个选项是正确的．每题4分，满分24分】
1．（4分）如图，已知是上一点，如果，，点，分别在，上，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】
：相似三角形的判定与性质
【分析】由相似三角形的判定，可得
，
；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得
正确．
【解答】解：
，，
，，
，故
错误；
，故正确；
，
，故错误；
，故错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．
2．（4分）下列各命题中，真命题的是（ ）
A．矩形都相似
B．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似
C．一个角为的两个等腰三角形一定相似
D．有一个锐角相等的两直角三角形相似
【考点】
：命题与定理
【分析】直接利用相似三角形以及矩形的相似判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：、矩形都相似，错误，应为矩形的对应边不一定成比例；
、有两条边对应成比例的两个直角三角形相似，若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，故此选项错误；
、一个角为的两个等腰三角形一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
、有一个锐角相等的两直角三角形相似，正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
3．（4分）在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】
：平行线分线段成比例
【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，即可得
，则可求得答案．
【解答】解：，
，
与相等的是．
故选：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4．（4分）三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，则这个相似三角形的最短边为（ ）
A． B． C． D．
【考点】
：相似三角形的性质
【分析】由三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：设这个相似三角形的最短边为
，
三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，
，
解得：
，
这个相似三角形的最短边为．
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（4分）已知，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】
：比例线段
【分析】根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
【解答】解：
，
，
、作出的为，故本选项正确；
、作出的为
，故本选项错误；
、线段x无法先作出，故本选项错误；
、作出的为
，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．
6．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ）
A． B． C． D．
【考点】
：相似三角形的判定
【分析】由题意可得
，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求
，即可证
．
【解答】解：
平分，
，
又
，且
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键．
二、填空题【本大题共12题，每题4分，满分48分】
7．（4分）已知x是2和6的比例中项，则 
．
【考点】：比例线段
【分析】根据比例中项的概念，得
，则x可求出来．
【解答】解：
是2和6的比例中项，
，
解得
．
故答案为．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
8．（4分）已知，那么 
．
【考点】
：比例的性质
【分析】先根据已知条件可求出
，然后再把
的值代入所求式子计算即可 ．
【解答】解：
，
，
．
故答案是：．
【点评】本题考查了比例的性质， 解题的关键是根据已知条件求出．
9．（4分）如图，中，如果，，那么 
．
【考点】：相似三角形的判定与性质
【分析】根据知
，由可证．利用相似三角形对应边成比例求解．
【解答】解：
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
10．（4分）如图，，，，，则 
．
【考点】：平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算解答即可．
【解答】解：
，
，
，
即
，
解得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应线段成比例．
11．（4分）在比例尺是的交通游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为 1520 ．
【考点】：比例线段
【分析】根据游览图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【解答】解：设隧道的实际长度是，根据题意得：
．
解得：
米．
故答案为：1520
【点评】本题主要考查了比例尺的含义，实际就是比例的问题．
12．（4分）如图，点在线段上，，，，则 
．
【考点】：相似三角形的判定与性质
【分析】由，
证
，据此得
，将有关线段的长度代入求解可得．
【解答】解：
，，
，
，
，，
，
，
则
（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
13．（4分）如图，中，，，则 
．
【考点】：相似三角形的判定与性质
【分析】由题意可得
，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求
的比值．
【解答】解：
，
，
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的面积与边长之间的关系，能够掌握并求解一些简单的计算问题．
14．（4分）两个相似三角形的相似比为，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为 90 ．
【考点】
：相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解题．
【解答】解：设较大三角形的周长是
，较小三角形的周长是
，则
，
解得
，那么较大三角形的周长是
，
故答案为：90．
【点评】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．
15．（4分）如图，已知在中，，，点为重心，，垂足为点，那么 2 ．
【考点】
：三角形的重心
【分析】连结
并延长交于点．由点为的重心，根据三角形重心的性质得出
，且
，于是
．易证
，根据平行线分线段成比例定理得出
，则
．
【解答】解：连结并延长交于点．
点为的重心，
，且，
．
，，
，
，
．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
，也考查了平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）点是线段的黄金分割点，，若，则 
．
【考点】
：黄金分割
【分析】根据黄金分割的定义即可进行计算解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和
，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
17．（4分）中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则 5或
．
【考点】
：相似三角形的判定
【分析】分两种情况讨论，由
是公共角，当
，即
时，
，当
，即
时，
，可求
的值．
【解答】解：
是公共角，
当，即时，
解得：
当，即时，
解得：
故答案为：5或
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．
18．（4分）如图，在中，，，点是的中点，以直线为折痕，将翻折到△处，与直线相交于点，则线段的长为 
．
【考点】
：翻折变换（折叠问题）
【分析】由在
中，，，于是得到，又由
沿直线翻折后，将点落在点
处，于是得到
，根据等腰三角形的性得到
，求得
，证得
，于是得到
，即可得到结论．
【解答】解：在中，，，点是的中点，
，
，
将翻折到△处，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
三、（本题共有7题，第19～22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题，14分；满分78分）
19．（10分）已知：，，求：代数式的值．
【考点】33：代数式求值；
：比例的性质
【分析】根据题意，设
，
，
．又因为，则可得k的值，从而求得x、、z的值，故
可求．
【解答】解：设
，
则，，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20．（10分）已知，如图，点为内一点，、、点分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【考点】：平行线分线段成比例；：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）先根据相似比的性质得出
，
，故可得出
，由此即可得出结论；
（2）先根据得出
，再由
得出
，故可得出
，同理可得，，故可得出
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，即，
同理可得，，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
21．（10分）已知：如图，在中，，，若，，，求：四边形的周长．
【考点】
：平行线的性质
【分析】先证明四边形为平行四边形得到
，设
，则，利用平行线分线段成比例定理得到
，再根据比例性质求出x，然后计算四边形的周长．
【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
，
设，则，
，
，即，解得
，
四边形的周长
．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．
22．（10分）如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
【考点】
：全等三角形的判定与性质；
：菱形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）可由相似三角形
对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
【解答】（1）证明：
法
四边形是菱形，
，
，
，
又
是公共边，
，
，
，
由
得，
，
，又
，
．
法
四边形是菱形
，（1分）
，
（4分）
．
（2）解：
，，
，
，
，
，
又
，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
23．（12分）如图，在中，，是边上的高，点在线段上，，垂足分别为，．
求证：（1）；
（2）．
【考点】
：垂线；
：直角三角形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）小题利用两角对应相等证明
和
相似即可；
（2）小题先证四边形
是矩形，证出
，进而证出两边成比例
且夹角相等，推出
和
相似，证出
，即可求出答案．
【解答】（1）证明：在和中，
是边上的高，
，，
，
又
为公共角，
，
．
（2）证明：在四边形中，
，
四边形为矩形，
．
由（1）知，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
又
，
，
即，
．
【点评】解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．题型较好，难度适中．
24．（12分）如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点在延长线上，联结，，分别交线段、边、对角线于点、、（点不与点、重合）．
（1）当点是线段的中点，求的长；
（2）设，，求关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
【考点】
：四边形综合题
【分析】（1）首先利用勾股定理得出的长，证得
，得出
，进一步得出
，
，利用三角形相似的性质得出
、
的长，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作
，
，垂足分别为
、
，利用
，
，
，建立、
之间的联系，进一步整理得出关于x的函数解析式，根据
，得出x的定义域即可；
（3）分三种情况探讨：①当
时，②当
，③当
，分别探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）
，，
，
，
，
点是线段的中点，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
；
（2）如图，
作，，垂足分别为、，
，
，
，，，
，
，
，
，
又
，
，，
，
，
则
．
（3）当是等腰三角形，
①当时，
，
，则
，
，由
，解得
；
②当，
，同理解得
；
③当，得出
不存在．
所以
或
．
【点评】此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．
25．（14分）如图，已知在梯形中，，，，是边上一点，，点是射线上一点，联结交射线于点，
（1）求的长；
（2）若点在的延长线上，设，，求与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求的长．
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）过点作
交于点，首先证明
，最后求出的长；
（2）延长
交
的延长线于点，然后根据相似三角形的性质进行解答即可；
（3）利用当在的延长线上时，以及当在线段上时，分别得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，分别过点、作
，
，垂足分别为、
，
由题意可得：
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长和 相交于点，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
；
（3）解：如图2，当在的延长线上时，
，
，
，
，
如图3，当在线段上时，
，
，
，，
，
，
，
，
，
综上所述的值为：
和
．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定和性质，对边三角形的判定和性质，关键是分析题意作出辅助线．
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