第一学期期中联考
高二年级 数学试题卷
考生须知：
1．本卷满分100分，考试时间90分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题
卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在棱柱中 
( )
A.只有两个面平行 B.所有的棱都平行
C.所有的面都是平行四边形 
D.两底面平行,且各侧棱也相互平行
2．在△ABC中，A=
，B=
，a=10，则b= （ ）
A．5
B．10 C．10
D．5
3．已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，则下列命题中错误的是( )
A．若m⊥α,m⊥β，则α//β B．若m⊥α,n⊥α，则m//n
C．若
α⊥γ,β⊥γ，则α//β D．若α//γ,β//γ，则α//β
4．若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A．ac＞bc B．
＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．
＜
5．在等比数列
中，若
，则公比
= （ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
6．下列结论正确的是 （ ）
A．当
且
时，
≥
B．当时，
≥
C．当
≥时，
的最小值为 D．当
≤时，
无最大值
7.一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF； ②AB与CM成60°的角；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是 ( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
8．在数列中，
，
，则
＝ 
( )
A．
B．
C．
D．
9.在
中，内角A、B、C的对边长分别为
、
、
，已知
，且
，则= （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知在四棱锥
中，底面
是菱形, 
底面，
，则四棱锥的体积
的取值范围是（ ）
A
．
B．
C．
D．
二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11.已知关于
不等式
的解集为
，则
___________.
12．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，
13．设
是等差数列的前
项和，公差
，若
,
，则正整数
的值为____________
14.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为______.
15．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC一定是钝角三角形；
③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3； ④若b＋c＝8，则△ABC的面积是2(3).
其中正确结论的序号是________．
已知M是△ABC内的一点，且
·
＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为2(1)，
，则
的最小值是 ______________
17．已知定义在
上的奇函数
满足
，
，数列
的前项和为
，且
，
,则
的值是_____________
三、解答题 (本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
18．已知
中，
的对边分别为
且
.
（1）判断△
的形状，确定角C的大小；
（2）若
，求的取值范围。
19．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．
20．如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？
(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．
21．单调递增数列的前项和为，且满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列
满足
，求数列的前项和
．
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座位号[来源:学科网] |
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第一学期期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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答案 |
D |
A |
C |
C |
B |
B |
D |
A |
D |
A |
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
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题号 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
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答案 |
6 |
|
9 |
|
②③ |
18 |
3 |
三、解答题：本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 考点：1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.正弦定理
【解析】(1)法一：因为
所以
即
……………………2分
所以
，所以
……………………4分
所以是以
为直角的直角三角形 ……………………5分
法二：因为
……………………2分
……………………4分
……………………5分
所以是以为直角的直角三角形
(2)由正弦定理可得
= ……………………6分
……………………8分
……………………9分
即
[即……………………10分
19.[解析] (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝. ……………………1分
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM . ……………………3分
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得
EM＝，AM＝，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM， ……………………5分
∴AM⊥PM. ……………………6分
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角． ……………………8分
∴tan∠PME＝EM(PE)＝3(3)＝1， ……………………9分
∴∠PME＝45°. ∴二面角P－AM－D的大小为45°. ……………………10分
【解析】解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，
矩形AMPN的面积为S，则S＝xy. ……………………1分
∵△NDC∽△NAM，∴
＝
， ……………………2分[来源:Zxxk.Com]
∴x＝
∴S＝
(y>2)． ……………………3分
由>32，得2
，或y>8，
∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内． ……………………5分
当y>2时，S＝＝3(y－2＋
＋4) ……………………7分
≥3×(4＋4)＝24， ……………………8分
当且仅当y－2＝， ……………………9分
即y＝4时，等号成立，解得x＝6.
∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24. ……………………10分
21.考点： 数列的求和；数列递推式．
【解析】： 解：（1）∵4Sn=an2+4n．
∴当n=1时，4a1=
+4，解得a1=2； ……………………1分
当n≥2时，
+4（n﹣1）， ……………………2分
∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=an2+4n﹣
， ……………………3分
化为
，变为（an﹣2+an﹣1）（an﹣2﹣an﹣1）=0，……………4分
∴an+an﹣1=2或an﹣an﹣1=2．
∵数列{an}是单调递增数列，an+an﹣1=2应该舍去， ……………………5分
∴an﹣an﹣1=2．
∴数列{an}是等差数列，首项为2，公差为2，
∴an=2+2（n﹣1）=2n． ……………………6分
（2）∵数列{bn}满足
，
∴
=
，
∴
=
． ……………………8分
∴数列{bn}的前n项和Tn=
+…+，
=
+…
+
， ……………………9分
∴=
+
+…+
……………………10分
=
﹣
=
，
∴
． ……………………12分
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