浦东新区第二学期质量抽测
高三数学试卷
注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚。
2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.直线
的倾斜角的大小是______.
2.函数
的值域是______.
3.设复数
满足
，则
_____.
4.已知集合
，
，则
______.
5.某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____名学生.
6.已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为______.
7.若行列式
的第1行第2列的元素1的代数余子式为
，则实数
的取值集合为___.
8.若不等式
在
时恒成立，则实数
的取值范围是______.
9.已知
的三边
成等比数列，
所对的角分别为
，则
的取值范围是___.
10.如图，在同一个平面内，向量
的模分别为
，
与
的夹角为
，
与
的夹角为
.若
，则
______.
11.已知数列
满足
，其首项
，若数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围是______.
12.从集合
中选出
个数
，使之同时满足下面两个条件：①
；②
，则称数组
为从
个元素中选出
个元素且限距为
的组合，其组合数记为
.例如根据集合
可得
.给定集合
，可得
______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
13.已知非空集合
满足
，给出以下四个命题：
①若任取
，则
是必然事件 ②若
，则
是不可能事件
③若任取
，则
是随机事件 ④若
，则
是必然事件
其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
14.正方体
中，
为棱
的中点（如图），用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
15.方程
的曲线形状是（ ）
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条线段
C.一个圆和两条射线 D.圆和直线的两个交点
16.已知当
时，函数
的图象与
的图象有且只有一个交点，则正实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）
如图，
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
分别相切于点
，与
交于点
），将
绕直线
旋转一周得到个转体.
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积.
18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
已知数列
的前
项和为
，且
，
.
（1）若
，求数列
的前
项和
；
（2）若
，
，求证：数列
为等比数列，并求出其通项公式；
19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
如图，在海岸线
一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段
，该曲线段是函数
，
的图像，图像的最高点为
.边界的中间部分为长1千米的直线段
，且
.游乐场的后部分边界是以
为圆心的一段圆弧
.
（1）求曲线段
的函数表达式；
（2）如图，在扇形
区域内建一个平行四边形休闲区
，平行四边形的一边在海岸线
上，一边在半径
上，另外一个顶点
在圆弧
上，且
，求平行四边形休闲区
面积的最大值及此时
的值.
20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）
设抛物线
的准线与
轴的交点为
，过
作直线
交抛物线于
两点。
（1）求线段
中点的轨迹方程；
（2）若线段
的垂直平分线交对称轴于
，求
的取值范围；
（3）若直线
的斜率依次取
时，线段
的垂直平分线与对称轴的交点依次为
，当
时，
求：
的值。
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
若存在常数
，使得对任意
，
，均有
，则称
为有界集合，同时称
为集合
的上界.
（1）设
，
，试判断
是否为有界集合，并说明理由；
（2）已知常数
，若函数
为有界集合，求集合
的上界
最小值
.
（3）已知函数
，记
，
，
，
，求使得集合
为有界集合时
的取值范围.
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