建平中学第一学期高三数学9月月考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．函数
的最小正周期为________．
2．设复数
，
为虚数单位，则
________．
3．已知全集
，集合
，
，则
___．
4．正实数
、
满足
，则
的最大值为________．
5．已知函数
，
是函数
的反函数，若的图像过点
，则
的值为________．
6．设
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
________．
7．若行列式
中的元素
的代数余子式的值等于
，则实数的取值集合为________．
8．不等式组
所表示的区域的面积为________．
9．将函数
的图像向右平移
个单位得到函数
的图像，若存在
使得
，则的最小值为________．
10．在
的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为________．
11．设
、
分别是抛物线
和圆
上的点．若存在实数
使得
，则
的最小值为________．
12．已知
，函数
在区间
上有两个不同零点，则
的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．直线
的一个法向量为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
14．已知
是空间两个不同的平面，则“平面
上存在不共线的三点到平面
的距离相等”是“
”的（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件
15．关于函数
的说法中正确的是（ ）．
（A）
是周期函数 （B）在
上有最小值
（C）在
上有零点 （D）的图像是中心对称图形
16．能使命题“给定
个非零向量（可以相同），若其中任意
个向量之和的模等于另外
个向量之和的模，则这个向量之和为零向量”成为真命题的一组、的值为（ ）．
①
，
②
， ③
，
④
，
（A）①② （B）③④ （C）①③ （D）②④
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点．
（1）求异面直线
与
所成角的大小；
（2）求点到平面
之间的距离．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知
．
（1）求
的最大值及该函数取得最大值时
的值；
（2）在
中，
分别是角
所对的边，若
，且
，
求边
的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某公司利用
线上、实体店线下销售产品，产品在上市
天内全部售完．据统计，线上日销售量
、线下日销售量
（单位：件）与上市时间
天的关系满足：
，
，产品每件的销售利润为
(单位：元)（日销售量
线上日销售量
线下日销售量）．
（1）设该公司产品的日销售利润为
，写出的函数解析式；
（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于
元？
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
给定椭圆
．过坐标原点的直线与
交于
、
两点，点在第一象限，
轴，垂足为
，连结
并延长交于点
．
（1）求直线
与直线
斜率的乘积；
（2）求证：
是直角三角形；
（3）求面积的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设是无穷正项等比数列，公比为
．对于正整数集
的子集
，若
，定义
；若
，定义
．
（1）若
，
，
，求
；
（2）设
．若、是的非空有限子集且
，求证：
；
（3）若对的任意非空有限子集、，只要
，就有
，求公比的取值范围．
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