第1课时 平面向量的实际背景及基本概念
基础达标(水平一)
1.下列说法正确的是( ).
A.有向线段
与
表示同一向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与单位向量是平行向量
D.对任意向量a,
是一个单位向量
【解析】向量与方向相反,不是同一向量,A错误;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,B错误;当a=0时,无意义,D错误;零向量与任何向量都是平行向量,C正确.
【答案】C
2.下列说法中不正确的是( ).
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【解析】两个有共同起点且共线的向量,它们的方向可能相反,而且它们的长度也有可能不同,所以D不正确.
【答案】D
3.如图,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量
与
的关系是( ).
A.=
B.||=||
C.>
D.<
【解析】||与||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.
【答案】B
4.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是( ).
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【解析】由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同,故选D.
【答案】D
5.如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.
(1)与向量
相等的向量有 ;
(2)若||=3,则向量
的模为 .
【解析】(1)在平行四边形ABCD和ABDE中,=
,=,∴=.
(2)由(1)知=,∴|
|=||+||=2||=6.
【答案】(1), (2)6
6.如图,
是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km.
【答案】60° 2
7.请画出下列表示小船的位移的图形.(用1∶500000的比例尺)
(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;
(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地;
(3)由C地向正南方向航行25 km到达D地.
【解析】如图所示,按1∶500000的比例尺画图
(1)
(2)
(3)见(2)图中位移
.
拓展提升(水平二)
8.下列说法正确的个数是( ).
①两个有公共起点且长度相等的向量,其终点可能不同;
②若非零向量与
是共线向量,则A,B,C,D四点共线;
③若a∥b且b∥c,则a∥c;
④当且仅当=时,四边形ABCD是平行四边形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】①正确;
②不正确,因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念;
③不正确,假设向量b为零向量,因为零向量与任何一个向量都平行,符合a∥b且b∥c的条件,但结论a∥c却不一定成立;
④正确,因为四边形ABCD是平行四边形⇔AB∥DC且AB=DC,即和相等.
【答案】C
9.如图,在等腰三角形ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,则下列结论正确的是 .
①是单位向量;
②||=
|
|;
③∥
;
④∥.
【解析】由图可知,显然
与不平行,与不平行,所以③④不正确.又因为等腰三角形ABC的边长不确定,所以不能确定是否为单位向量,所以①不正确.依题意,知CD=
BC,所以②正确.
【答案】②
10.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB的线段,其与两腰分别交于点E,F,在图中所标的向量中:
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与
方向相同的向量;
(3)分别写出与
,
的模相等的向量;
(4)写出与
相等的向量.
【解析】在等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.
(1)图中与共线的向量有,
,
,
.
(2)图中与方向相同的向量有,,,.
(3)图中与的模相等的向量为
,与
的模相等的向量为.
(4)图中与相等的向量为.
11.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且
=
.
求证:
=
.
【解析】∵=,
∴||=||,且AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∴|
|=||,且DA∥CB.
又∵与的方向相同,∴=.
同理可证四边形CNAM是平行四边形,∴
=
.
∵||=||,||=||,
∴|
|=|
|,DN∥MB,即与的模相等且方向相同,∴=.
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