2019 - 2020学年上学期
高二数学期中试卷
说
明：本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（填空题 共70分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.命题“
，
”的否定是 
▲ ．
2.函数
在点
处切线的斜率为 ▲ 
．
3.若双曲线
的焦距为
,则其离心率
▲ ．
4.函数
的单调减区间为 ▲ ．
5. 已知圆
的圆心为抛物线
的焦点，且与直线
相切，则该圆的方程为 ▲ ．
6. “
”是“
”成立的 ▲_ 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）
7.抛物线
上的点
到焦点
的距离为5，
为坐标原点，则
▲ ．
8. 已知抛物线
的准线经过双曲线
的右顶点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
9.已知圆
过点
，且圆心在
轴的正半轴上．直线
被圆所截得的弦长为
，则过圆心且与直线
垂直的直线的方程为 ▲ ．
10. 若函数
在区间
上有极小值，则实数
的取值范围为 ▲ ．
11.已知F1，F2分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为_____ ▲ _．
12. 已知直线
，分别与直线
和曲线
交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系
中，点Q为圆
上的一动点，直线
与直线
相交于点P,则当实数k变化时，线段PQ长的最小值是 ▲ ．
14.已知函数
，（
为自然对数的底数），若
使得函数
有三个零点，则m的取值范围是 ▲ ．
第Ⅱ卷（解答题 共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
已知直线
.
（1）求过点
且与直线
平行的直线方程；
（2）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数
的取值范围.
16.（本题满分14分）
已知命题
：方程
表示圆；命题
：方程
表示焦点在
轴上的椭圆.
（1）若命题为真命题时，求实数
的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
[来源:Z_xx_k.Com]
17.（本题满分14分）
已知圆
一动直线
过
与圆
相交于
两点，
是
的中点，与直线
相交于
（1）当
时，求直线的方程；
（2）探索
是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
18.（本题满分16分）
一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．
（1）若拟修的小路AO段长为
百米，求小路ON段的建造费用；
（2）设∠BAP＝
，求cos的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．
19.（本题满分16分）
如图，椭圆
的离心率为
，焦点到相应准线的距离为1，点
，
，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点
，交
轴于点
，直线
与直线
交于点
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求直线的方程；
（3）求证：
为定值．
20.（本题满分16分）
已知函数
．
(1)求过点
的
的切线方程;
(2)当
时,求函数
在
上的最大值;
(3)证明:当
时,不等式
对任意
均成立(其中
为自然对数的底数,
)．
2019 - 2020学年上学期
高二数学期中试卷 参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 
，
．2. 
3.
，4. 
如写成
也正确
5. 
6.必要不充分 7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.
13．2 ，14.
15.解：（1)与直线
平行的直线的斜率为
， ……………………2 分
因为点
在该直线上，
所以所求直线方程为
， ……………………4 分
即直线方程为
. ……………………6 分
（2）直线与两坐标轴的交点分别为
，… …8分
则所围成的三角形的面积为
， …………10 分
由题意可知
，
化简得
，
解得
或
，
所以实数
的取值范围是
. ……………………14 分
16.解：
（1）若命题为真命题时，
则由方程
即
表示圆， ……………………2 分
∴
解之得 ……………………4 分
∴
……………………6 分
（2）由成立得
……………………8 分
∴
，
若是的必要不充分条件，则
， ……………………10 分
∴
……………………12 分
解之得
∴ 
……………………14 分
17.解：（1）①当直线与
轴垂直时，易知
符合题意……… 1分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
则由
，得
……… 4分[来源:学§科§网Z§X§X§K]
……………………5 分
综上，所求的直线的方程为
………6分
(2)
当直线与轴垂直时，易得
，
则
……… 8分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
则由
，得
， ……………………12 分
则
综上，与直线的斜率无关，因此与倾斜角也无关，
且
………14分
18.解（1）在△AOM中，
∴
…………………2 分
化简得：
∵
＞0，∴＝1， …………………4 分
则
，3×1＝3
答：小路ON段的建造费用为3万元． ……………………6 分
（2）由正弦定理得：
则
，
……………………9 分
设小路AO段与ON段的建造总费用为
则
，
……………………11 分
，若
满足
，且
，
列表如下：
|
|
( |
|
( |
|
|
﹣ |
0 |
﹢[来源:Zxxk.Com] |
|
|
|
|
|
则当＝时，有极小值，此时也是的最小值
∴
……………………15 分
答：当cos
，小路AO段与ON段的建造总费用最小．……16 分
19.解（1）由椭圆的离心率为
，焦点到对应准线的距离为1.
得 
解得
……………………2 分
所以，椭圆的标准方程为
. …………………4分
（2）由（1）知
，设
，
因为
，得
，所以
， ………………6 分
代入椭圆方程得
或
，所以
或
，
所以
的方程为：
或
. ……………9 分
（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线
的方程
，
联立椭圆方程得：
解得
,
. ……12 分
由
，得直线BD的方程：
， ①
直线AC方程为
， ②
联立①②得
， ………………………………15 分
从而
=2为定值. ……………………………16 分
解法2：设D坐标为(x3，y3），
由C,M,D三点共线得
，所以
， ① ………………10 分
由B,D,N三点共线得
，将
代入可得
， ② ……………………………12 分
①和②相乘得，
. …………………………16 分[来源:学#科#网]
20.解：
(1)设切点坐标为
,则切线方程为
,
将代入上式,得
,
∴切线方程为
; ……………………3 分
(2)当时,
,
∴
, ……………………4 分
当
时,
,当
时,
,
∴
在
递增,在
递减, ……………………6 分
∴当
时,的最大值为
;
当
时,的最大值为
; ……………………8 分
(3)
可化为
,[来源:学#科#网]
设
,要证
时
对任意
均成立,
只要证
,下证此结论成立． ……………………9 分
∵
,∴当
时,
,
设
,则
,∴
在
递增, …11 分
又∵在区间
上的图象是一条不间断的曲线,且
,
∴
使得
,即
, ……13 分
当
时,
;当
时,
;
∴函数
在
递增,在
递减,
∴
,
∵
在
递增,∴
,
即,
∴当时,不等式对任意均成立．
……………………16 分
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