专题10一次函数与反比例函数综合题
【例1】（2019·偃师一模）如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点B(0，-3)，交反比例函数y =
于第一象限的点P，点P的横坐标为4.
（1）求反比例函数y =
的解析式；
（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y=
的图象于点C，求△OPC的面积.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=ax+b 交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点 B(0，-3)，
∴3a+b=0，b=－3，
解得：a=1，
即l1的解析式为：y=x－3，
当x=4时，y=1，即P（4,1），
将P点坐标代入y=
得：k=4，
即反比函数的解析式为：y=
；
（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，
∵OA=OB=3，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵l⊥l1，
∴∠DPB=90°，
∴∠ODP=45°，
设直线l1的解析式为：y=－x+b，
将点P(4,1)代入得：b=5，
联立：y=－x+5，y=
，解得：
x=1，y=4或x=4，y=1，
即C(1,4)，
∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE
=
×5×5－
×5×1－
×5×1
=
.
【变式1-1】（2018·河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–
x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数
的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形OABC为矩形，
∴OA=BC=2，
在y=–
x+3中，y=2时，x=2，
即M(2,2),
将M（2，2）代入
得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：
.
（2）在
中，当x=4时，y=1，
即CN=1，
∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON
=4×2－
×2×2－
×4×1
=4，
∴S△OPM=4，
即
·OP·OA=4，
∵OA=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.
【例2】（2019·济源一模）已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y =
（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，
.
（1）求点 D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y =
的值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，
∴令x=0，解得y=3，
∴D的坐标为（0，3）；
（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP，
∴
，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
∵S△DBP=27，
即
＝27，
∴BP=6，
∴P（6，-6），
把P坐标代入y=kx+3，得到k=
，
则一次函数的解析式为：y＝
x+3；
把P坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，
则反比例解析式为：y＝−
；
（3）联立y＝−
，y＝
x+3得：
x=－4，y=9或x=6，y=－6，
即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），
∴当x＞6或－4＜x＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【变式2-1】（2019·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数y=
上（k＞0，x＞0），横坐标分别为
和2，对角线 BC∥x 轴，菱形ABDC 的面积为 9．
（1）求 k 的值及直线 CD 的解析式；
（2）连接 OD，OC，求△OCD 的面积．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接AD，
∵菱形 ABDC 的顶点D，C 在反比例函数y=
上，横坐标分别为
和2，
∴D(
,2k)，C(2, 
),
∵BC∥x轴，
∴B(－1，
),A(
,－k),
∴BC=3，AD=3k，
∵S菱形ABCD=9，
∴
×3×3k=9，解得：k=2，
∴D(
,4)，C(2, 1),
设直线CD的解析式为y=mx+n，
∴
m+n=4，2m+n=1，
解得：m=－2，n=5，
即直线CD的解析式为y=－2x+5.
（2）设直线y=－2x+5交x轴、y轴于点F，E，
则F(
,0),E(0,5)，
∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF
=
×5×
－
×5×
－
×1×
=
，
即△OCD的面积为：
.
【例3】（2019·西华县一模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=
的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=
的图象上，
∴k=3，
即函数的解析式为y=
；
（2）E，F两点坐标为：E（
，2），F（3，
），
∴S△EFA=
AF•BE
=
×
（3﹣
），
=
，
∴当k=3时，S△EFA有最大值，最大值
．
【变式3-1】（2019·中原名校大联考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝
的图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的纵坐标为6，AC＝3CB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组
＜kx+b＜4的解集；
（3）点P（x，y）是直线y＝k+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，若△BPQ的面积记为S，求S的最大值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，
则∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴
，即
，
解得：BE＝2，CE＝1，
∴A（1，6），
∴反比例函数解析式为y＝
；
（2）将A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，
得：
，解得：
，
即直线解析式为：y＝2x+4，
由B（﹣3，﹣2），
得不等式组
＜2x+4＜4的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）设P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），
则PQ＝﹣m，△BPQ中PQ边上的高为2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，
∴S＝
•（﹣m）（2m+6）
＝﹣m2﹣3m
＝﹣（m+
）2+
，
∴当m＝﹣
时，S取得最大值，最大值为
．
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