4.因动点产生的将军饮马问题
1.如图,一次函数的图象与二次函数的图象都经过点和点,且图象过点.
(1)求二次函数的最大值;
(2)设使成立的取值的所有整数和为,若是关于的方程
的根,求的值;
(3)若点在图象上,长度为的线段在线段上移动,与都始终平行于轴.当四边形的面积最大时,在轴上求一点,使最小,求出点的坐标.
解析:(1)把代入
解得
∴二次函数的解析式为
∴二次函数的最大值为
(2)
由与联立,求得
使成立的取值范围是
所有整数和,代入方程
得,解得
(3)
作于
设其中[来源:Z*xx*k.Com]
则,
在中,
即
,
由题意,四边形为梯形,要使面积最大,则最大
而
∴当时,四边形的面积最大
作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则点为所求
,易求直线的解析式为
令,解得
2.已知:直线,抛物线的对称轴是轴,且经过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,点是抛物线上任意一点,过点作直线的垂线,垂足为.求证:.
(3)请你参考(2)中结论解决下列问题:
①如图②,过原点作任意直线,交抛物线于点.分别过两点作直线的垂线,垂足分别为,连接求证:;
②如图③,点,试探究在抛物线上是否存在点,使得取得最小值.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵抛物线的对称轴是轴
,把代入,得:
解得
∴抛物线的解析式为
(2)设,则
(3)
由(2)知,
②
作,则
当三点在同一条直线上时,取得最小值
把代入,得
∴满足条件的点的坐标为
3.已知平面直角坐标系中两定点,抛物线过点,顶点为,点为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标;
(2)当为钝角时,求的取值范围;
(3)若,当为直角时,将该抛物线向左或向右平移个单位,点平移后对应的点分别记为是否存在,使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短?若存在,求的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵抛物线过点
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点的坐标为
(2)若点在轴上方,显然或为钝角,则必为锐角,不合题意[来源:学科网ZXXK]
若点在轴下方,当点与抛物线和轴交点时
,
由抛物线的对称性可知,点关于抛物线对称轴的对称点也满足
以为直径作圆,则均在圆上,抛物线上点到及到之间的部分在圆内
当点在这两个范围内运动时,满足为钝角
或
(3)
,为直角
∴由(2)知点坐标为
由平移的性质知
与均为定值,要使所构成的
多边形的周长最短,只最短
过点作且连接
则四边形为平行四边形
连接作点关于直线的对称点,连接
则
当落在线段上时,最短
∴抛物线应该向左平移
,
,
设直线的解析式为
解得
,把代入
解得
,抛物线应该向左平移个单位
4.如图,在平面直角坐标系中,过原点,与轴交于,与轴交于,点为劣弧的中点,连接并延长到,使,连接.
(1)求的半径;
(2)证明:为的切线;
(3)在直线上找一点,使最大,求出这个最大值及此时点坐标.
解析:(1)为的直径
的半径为
(2)[来源:Zxxk.Com]
过作轴于,交直线于
∵点为劣弧的中点,垂直平分
,
由,得
又
为的切线
(3)点在直线上,两点关于直线对称
当三点在同一直线上时,最大,即等于线段的长
由(2)知,[来源:学。科。网]
即的最大值为
设直线的解析式为,把点坐标代入,得:
,,
当时,
∴此时点坐标为
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