复旦附中高二期中数学试卷
2019.04
一. 填空题
1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为
2. 在空间直角坐标系
中，已知
，
，
，则向量
与
的夹角为
3. 如题，在正方体
中，
是棱
的中点，
是棱
的中点，则异面
直线
与
所成的角为
4. 如图，在底面半径为1，高为
的圆锥中，
是底面圆心，
为圆锥顶点，
、
是底
面圆周上的两点，
，
为母线
的中点，则在该圆锥的侧面上，从到的
最短路径的长是
5. 设抛物线：
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线与交于点
、
两点，则
6. 已知平面
、
和直线
、
，给出下列命题：① ∥，∥，
，则
；② 若∥，∥，∥，则∥；③ 若
，
，，则；④ 若，，，则，其中是真命题的是
（填写所有真命题的序号）
7. 如图，在棱长为1的正方体中，
是平面
与平面
的交线，
则点
到的距离是
8. 如图，已知正三棱锥
的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角
的大小为
9. 已知球的表面上三点、、满足：
，
，
，且球心到该
截面的距离为球的半径的一半，则、两点的球面距离是
10. 如图是复旦附中旦华楼的大致形状，它可看作是一个半球与两个长方体拼接而成，若半
球的半径为 3米，
米，
米，
米，
米，
米，由于
年久失修，需要用涂料刷满其外表面（不计地面），则需要 平方米的涂料
11. 已知
、
、
是正常数，由直线
、直线
、双曲线
及其一条渐近线围成如
图阴影部分所示的图形，该图形绕
轴旋转一周所
得几何体的体积为
12. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，
，和
分别是上下底面对角线的交点，
在线段
上，
，点在线段
上移动，则三棱锥
的体积最小值为
二. 选择题
13. 已知
，
，且
与
垂直，则
的值为（ ）
A. 
B. 1 C. 
D. 
14. 过点
与圆
相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
15. 下列四个结论中正确的是（ ）
① 若两个平面有无数多个公共点，则它们重合；
② 垂直于同一直线的两条直线平行；
③ 若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直；
④ 若、是异面直线，直线
、
与、都相交，则、也是异面直线.
①② B. ②③ C. ③ D. ③④
16. 如图，在棱长为2的正方体中，
、、分别是棱的中点
、、
，是
底面内一动点，若直线
与平面
平行，
则△
的面积的最小值为（ ）
A. 
B. 1 C. 
D. 2
三. 解答题
17. 如图，在四棱锥
中，
底面，
，∥
，
，
，点为棱
的中点.
（1）证明：
；
（2）若为棱上一点，满足
，求线段
的长.
18. 已知椭圆：
过点
，左、右顶点分别为、，点是
椭圆上异于、的一点，直线
与轴交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，点
在轴上，且
∥
，求证：
为定值.
19. 如图，已知点在圆柱
的底面圆上，
，圆的直径
，圆柱的高
.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求点到平面
的距离；
（3）求直线
与所成的角.
20. 如图，在多面体
中，
、
、均垂直于平面
，
，
，
，
，
、分别是线段和
上的点.
（1）求
与
所成角的大小；
（2）求二面角
的大小；
（3）求
的最小值.
21. 已知双曲线：
，设是双曲线上任意一点，为坐标原
点，为双曲线右焦点，
、
为双曲线的左右顶点.
（1）已知：无论点在右支的何处，总有
，求
的取值范围；
（2）设过右焦点的直线交双曲线于、两点，若存在直线，使得△
为等边
三角形，求
的值；
（3）若
，
，动点与双曲线的顶点不重合，直线
和直线
与直线：
分别相交于点
和
，试问：是否存在定点，使得
恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 
2. 
3. 
4.
5. 8 6. ③④ 7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
二. 选择题
13. D 14. C 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）证明略；（2）
.
18.（1）
；（2）90°.
19.（1）
；（2）
；（3）
.
20.（1）
；（2）
；（3）
.
21.（1）
；（2）
；（3）
，
.
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