徐汇中学高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 计算：
2. 已知复数
满足
（
为虚数单位），则
3. 在等比数列
中，
，
，则
4. 若复数
（为虚数单位），则的共轭复数
5. 已知数列满足
，
（
），则
6. 设
为等差数列的前
项和，若
，
，则公差为
7. 数列是等比数列，
，
，且公比
为整数，则
的值为
8. 关于
的方程
（
）的两虚根为
、
，且
，则实数
的值是
9. 若是等差数列，首项
，
，
，则使前项和最
大的自然数是
10. 设等比数列中，首项
，若是递增数列，则公比的取值范围是
11. 若首项为
，公比为（
）的等比数列满足
，则的
取值范围是
12. 数列的前项和为，
，且
（），记
，则
的值是
13. 把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若
，则
1 1
2 3 4 2 4
5 6 7 8 9 5 7 9
10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36
图甲 图乙
二. 选择题
14. 用数学归纳法证明
这一不等式时，应注意必须为（ ）
A. B. ，
C. ，
D. ，
15. 设，则“数列为等比数列”是“数列满足
”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
16. 设是复数，从，
，
，
，
，
，
中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）
A. 3个元素 B. 4个元素 C. 5个元素 D. 6个元素
17. 已知数列
（
，）具有性质
：对任意
、
（
），
与
两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题：
① 若数列
具有性质，则
；
② 若数列，
，
（
）具有性质，则
；
下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
三. 解答题
18.（1）已知数列的前项和满足
，求数列的通项公式；
（2）数列满足，
（），求数列的通项公式.
19. 已知方程
，
.
（1）若
是它的一个根，求
的值；（2）若
，求满足方程的所有虚数的和.
20. 2016年A市政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目，规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目，2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2016年为第1年，
为第1年至此后第（）年的累积利润（注：含第年，累积利润=累积净收入-累积投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利.
（1）试求的表达式；
（2）根据预测，该项目从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
21. 已知数列前项和
（），数列
等差，且满足
，
前9项和为153.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求及使不等式
对
一切都成立的最小正整数的值；
（3）设
，问是否存在
，使得
成立？
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 
2. 
3. 64 4. 
5. 31
6. 
7. 
8. 5 9. 2006 10. 
11. 
12. 3 13. 1032
二. 选择题
14. D 15. A 16. A 17. A
三. 解答题
18.（1）
；（2）
.
19.（1）
；（2）190.
20.（1）
；（2）第8年，即2023年.
21.（1）
，
；（2）
，
；（3）11.
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