衡水中学高一数学第三章检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．1. 函数f（x）=x3-4的零点所在的区间为（ ）
A.（-1,0）
B. （0,1） C. （1,2） 
D. （2,3）
2．某企业的产品成本，前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备，并实施科学管理，后两年的产品成本每年递减20%，则该企业的产品现在的成本与原来相比（ ）
A. 不增不减 B. 约增8% C. 约减5% D. 约减8%
3．设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是( )
A．f(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢
B．g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢
C．g(x)增长速度最快，f(x)增长速度最慢
D．f(x)增长速度最快，g(x)增长速度最慢
4．已知函数f(x)的图象在R上是连续不间断的，且f(a)f(b)>0，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)在区间(a,b)上一定有零点 B．f(x)在区间(a,b)上不一定有零点
C．f(x)在(a,b)上零点的个数为奇数 D．f(x)在(a,b)上没有零点
5．已知一定量气体的体积V（m3）与绝对温度T（K）、压力P（Pa）之间满足关系式V＝
,当T＝280 K,P＝2．5 Pa时气体的体积为（ ）
A．54 m3 B．540 m3 C．5400 m3 D．5．4 m3
6.某同学在期中考试中，数学与英语成绩一好一差，为了提高英语成绩，他决定把大部分自主学习时间用于加强英语的学习，结果在后来的月考和期末考试中，英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，这时恰好两门功课的分值均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩比期中考试成绩 （ ）
A ． 降低了 B ． 提高了 C ．不提不降 D ． 是否提高与m的值有关
7．今有一组数据如下：
|
t |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
s |
4 |
8.1 |
16 |
31.5 |
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据（ ）
A．
B．
C．
D．
8． 12. 若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度0.01，则对区间(1,2)至少二等分（ ）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过
，若初时含杂质
，每过滤一次可使杂质含量减少
，使产品达到市场要求则至少应过滤的次数为（）（已知
）
A. 6 B.7 C. 8 D. 9
10．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利存入
银行，已知银行月息为0．24%，如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元，这个体户为获利最大，这种货（ ）
A．月初售出好 B．月初月末售出一样
C．月末售出好 D．由成本费的大小确定
11．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（ ）
A．15% B．10% C．12% D．50%
12．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的 ( )
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把正确答案填在题中横线上）
13．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．
14．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如
图所示．现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；
②前5 min温度增加的速度越来越慢；
③5 min以后温度保持匀速增加；
④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法序号是________．
15．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是___________________.
16．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为：y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到___
_____只．
17．计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低现价格的m(1)，现在价格5 400元的计算机经过15年的价格为________元．
18. 设函数
，函数
的零点个数为 .
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（10分）设关于
的方程
的解集分别为
，
，且
.
⑴求a和b的值；
⑵求函数
的零点 .
20.（10分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品可获利润分别为p、q（单位：万元），它们与注入资金的关系分别为
，
，今有3万元资金投入经营两种商品，为了获取最大利润，对两种商品该如何分配？
21.（10分）已知二次函数
.
（1）若
，试判断函数
零点个数；
(2) 若对
且
，
，证明方程
必有一个实数根属于
．
22．（10分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3100(Q)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．[来源:Z。xx。k.Com]
23．（10分）已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－n t，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－n t，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有4(a) L?
24. （10分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每
枚的市场价
（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
|
上市时间 |
4 |
10 |
36 |
|
市场价 |
90 |
51 |
90 |
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间的变化关系：①
；②
；③
；
（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）设你选取的函数为
，若对任意实数
，方程
恒有两个相异的零点，求
的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.C 2．D3.B4．B5．C6.A7．A8．C9．C10．D11．C12．B
提示：
1. f（1）·f（2）＜0，故选C.
2.设原来的成本为a，
.
3.由三个函数的性质，可知：g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢．
6.设期中考试数学、英语成绩分别为a与b，则有
得
，于是有
，所以总成绩降低了．
9.设至少需过滤n次，则
，即
，所以
，即
，又
，所以
，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
10.如果月初售出所获总利为（a＋100）（1＋0．0024）＝（a＋100）×1．0024，如果月末售出所获总利为a＋115（其中a为成本费），以上两式的大小与a的大小有关，所以应选D．
11.设明年比今年降价x%，依题意得（1＋25%）（1－x%）＝1＋10%，解得x＝12，选C．
12.开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．
二、填空题
13．±
14．②④15．y=
ax 16．30017．5 400m(1)3 18．2
提示：
13.求函数零点即求函数对应方程的根，另lgx2+2=0，即lgx2=-2，所以x2=10-2=
，x=±.
14.因为温度y关于时间t 的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
15.设新价A，则(1-20%)A-
a=（1-20%）·25%A
∴A=
a，∴y=(a-a)x， 得y=ax.
16.把x＝
1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得：a＝100，
故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，
∴当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只．
17.5年后的价格为5 400m(1)元，10年后的价格为5 400m(1)2元，15年后的价格为5 400m(1)3元．
18．令
，则
，由
，得
.若
，由得
，所以
.若
，由得
，所以
.所以函数的零点个数为2个.
三、解答题
19. 解：⑴将x=
分别代入2x2+ax-9=0及bx2+x-6=0得a=3，b=2
⑵f（x）=3x2+2x-8，令3x2+2x-8=0，解得x=
或x=-2.
20.解：设对甲注入资金x（万元），对乙注入资金3－x（万元），
则经营利润
（0≤x≤3）.
令
，则
（0≤t≤
）.
所以当t＝
，即x＝
万元时，y取得最大利润
万元，即甲注入资金万元，乙注入资金
万元.
21. 解：（1）因为
所以 
故
.
因为
.
当
时
，函数有一个零点；
当
时，
，函数
有两个零点．
（2）令
，则
，
，
因为
所以
在内必有一个实根.
即方程必有一个实数根属于．
22．解：(1)设V＝k·log3100(Q)，因为当Q＝900时，V＝1，即1＝k·log3100(900)，解得k＝2(1)，
所以V关于Q的函数解析式为V＝2(1)log3100(Q).
(2)令V＝1.5，则1.5＝2(1)log3100(Q)，解得Q＝2 700，
所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
23．解：由题意，得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝2(1). ①
设再过t min后桶1中的水有4(a)，
则ae－n(t＋5)＝4(a)，e－n(t＋5)＝4(1). ②
将①式平方得e－10n＝4(1)， ③
比较②，③得－n(t＋5)＝－10n，所以t＝5.即再过5 min后桶1中的水只有4(a) L．
24. 解：（1）因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
所以.
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入方程：
得
，
所以
，
所以当
时，有最小值，
，
故，辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为
天，最低价格为
元.
（3）由（2）知
，又因为恒有两个相异的零点，则
恒有两个相异的零点，所以
恒成立，
即
对
恒成立，所以
，解得
.故的取值范围为
.
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