衡水中学高一数学第一章检测卷
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一、选择题：共12题 每题5分 共60分 |
1．已知函数
的图象如下图所示，则函数
的图象为
2．下列各组函数为相等函数的是
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A. |
B. |
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C. |
D. |
3．函数
的定义域为
若对于任意的
当
时,都有
则称函数在
上为非减函数.设函数的
上为非减函数,且满足以下三个条件:①
②
③
=
则
等于
|
A. |
B. |
C. |
D. |
4．设函数
,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
5．函数f(x)=x2-4x+6(x∈[1,5))的值域是
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A.(3,11] |
B.[2,11) |
C.[3,11) |
D.(2,11] |
6．若函数
在区间
上单调,则实数
的取值范围为
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A. |
B. |
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C. |
D. |
7．定义运算:a*b=
,如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为
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A.R |
B.(0,+∞) |
C.(0,1] |
D.[1,+∞) |
8．已知集合E={x|2-x≥0},若F⊆E,则集合F可以是
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A.{x|x<1} |
B.{x|x>2} |
C.{x|x>3} |
D.{x|1<x<3} |
9．已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
)的x的取值范围是( )
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A.( |
B.[ |
C.( |
D.[ |
10．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度
与时间
(秒)的函数关系式是
，则炮弹在发射几秒后最高呢？
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A. |
B. |
C. |
D. |
11．已知
,且
,则
等于
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A. |
B. |
C. |
D. |
12．已知集合
和集合
，则两个集合间的关系是
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A. |
B. |
C. |
D.M，P互不包含 |
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二、填空题：共4题 每题5分 共20分 |
13．已知函数f(x)=a﹣x2(1≤x ≤2)与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数的取值范围是
A.
C. 
14．设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}.给出下列四个图,其中能构成从集合M到集合N的函数关系的是 .
15．给出下列二次函数,将其图象画在同一平面直角坐标系中,则图象的开口按从小到大的顺序排列为 .
(1)f(x)=-
x2;(2)f(x)=(x+5)2;
(3)f(x)=x2-6;(4)f(x)=-5(x-8)2+9.
16．若函数
的图像关于y轴对称，则的单调减区间为 .
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三、解答题：共6题 共70分 |
17．(本题10分)如果对函数f(x)定义域内任意的x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,就称函数f(x)是定义域上的“平缓函数”.
(1)判断函数f(x)=x2-x,x∈[0,1]是否为“平缓函数”;
(2)若函数f(x)是闭区间[0,1]上的“平缓函数”,且f(0)=f(1),证明:对任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤成立.
(注:可参考绝对值的基本性质①|ab|≤|a||b|,②|a+b|≤|a|+|b|)
18．(本题12分)记函数
的定义域为集合
，集合
.
(1)求
和
；
(2) 若
，求实数
的取值范围.
19．(本题12分)设全集U={x|0<x<9,且x∈Z},集合S={1,3,5},T={3,6},求:
(1)S∩T;
(2)
.
20．(本题12分)已知函数f(x)=
.
(1)用定义证明f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值.
21．(本题12分)定义在非零实数集上的函数对任意非零实数
满足:
,且当
时
.
(Ⅰ)求
及
的值;
(Ⅱ)求证:
是偶函数;
(Ⅲ)解不等式:
.
22．(本题12分)(1)证明:函数f(x)=
在(-∞,0)上是减函数;
(2)证明:函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
参考答案
1.B
【解析】本试题主要考查函数的图象.根据题意，由于函数图象可知，函数在y轴右侧图象在x轴上方，在y轴左侧的图象在x轴的下方，而函数在x>0时图象保持不变，因此排除C,D，对于选项A，由于在时偶函数，故在y轴左侧的图象与y轴右侧的图象关于y轴对称，故选B.
2.C
【解析】本题主要考查相等函数、函数的定义域、值域与对应关系.A.因为这两个函数的值域不同,所以这两个函数不是相等函数;B.这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数;C.这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同,所以这两个函数为相等函数;D.这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数.
3.D
【解析】本题主要考查新定义问题、函数的性质及其综合应用.由题意,令x=0,由=
可得
由
可得
令
则
=
同理
=
=
=
=
=
令
则
=
=
同理
=
=
=
=
. 非减函数的性质:当时,都有
.因为
所以
所以
=.
4.A
【解析】本题主要考查分段函数的最值问题.由题意，函数的图象如图所示：
红色图象即为所求解的函数的图象，可知最小值为0.
5.B
【解析】f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2.∵f(x)图象的对称轴是直线x=2,∴f(x)在[1,2]上单调递减,在(2,5)上单调递增,∴f(x)的值域是[2,11).故选B.
6.C
【解析】本题主要考查二次函数.依题意,函数在区间上单调,则函数的对称轴
或
,得
或
,故选C.
7.C
【解析】本题主要考查在新型定义的前提下函数值域的求解.根据题目定义知f(x)=2x*2-x=
,结合图象知其值域为(0,1].故选C.
8.A
【解析】由题意知E={x|2-x≥0}={x|x≤2},F⊆E,观察选项知应选A.
9.A
【解析】偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),则f(-)= f().
由f(2x-1))得
①或
②,
解①得≤x<
,解②得.
综上可得,故x的取值范围是(,).
10.C
【解析】本题主要考查二次函数.依题意，根据二次函数得性质，函数的开口向下，对称轴为
，故炮弹在发射
后最高，故选C.
11.B
【解析】本题主要考查函数的解析式与求值.
因为,设
,则
,所以
,因为
,所以
,解得
,故选B.
12.D
13.D
【解析】本题主要考查二次函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为函数f(x)=a﹣x2(1≤x ≤2)与
的图象上存在关于轴对称的点，所以函数f(x)=a﹣x2(1≤x ≤2)与
的图象上存在交点，所以
有解，令
,则
,求解可得
，故答案为D.
【备注】无
14.④
【解析】图①中函数的定义域是[0,1];图②中函数的定义域是[-1,2];图③中对任意的x∈(0,2],其对应的y值不唯一.故①②③均不能构成从集合M到集合N的函数,图④满足题意.
15.(4)(3)(2)(1)
【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在同一平面直角坐标系中|a|越小,图象开口越大,又|-|<||<||<|-5|,所以图象开口按从小到大的顺序排列为(4)(3)(2)(1).
16.
【解析】本题考查函数的图象. 若函数的图像关于y轴对称，则a=0，
，所以f(x)的单调减区间为
.
17.(1)对任意的x1,x2∈[0,1],有-1≤x1+x2-1≤1,即|x1+x2-1|≤1.
从而|f(x1)-f(x2)|=|(
-x1)-(
-x2)|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|,
所以函数f(x)=x2-x,x∈[0,1]是“平缓函数”.
(2)当|x1-x2|<时,
由已知,得|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|<;
当|x1-x2|≥时,因为x1,x2∈[0,1],不妨设0≤x1<x2≤1,所以x2-x1≥.
因为f(0)=f(1),
所以|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|
≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|
≤|x1-0|+|1-x2|
=x1-x2+1
≤-+1
=.
所以对任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤成立.
18.由条件可得
,
(1)
=
,
;
(2) 
,由
可得
.
19.U={1,2,3,4,5,6,7,8}
(1)S∩T={3}
(2)S∪T={1,3,5,6}
={2,4,7,8}
20.(1)任取x1,x2∈[1,+∞),且x1
f(x1)-f(x2)=
-
=
.
∵1≤x1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
∴函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
∴f(x)max=f(4)=
=
,
f(x)min=f(2)=
=
.
21.(1)f(1)=0,f(-1)=0;
(2)f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)∴f(-x)=f(x)，所以函数是偶函数;
(3)据题意可知，f(2)+f(x2-1/2)=f(2x2-1)≤0∴-1≤2x2-1＜0或0＜2x2-1≤1∴0≤x2＜1/2或＜x2≤1,所以不等式的解集为
22.(1)设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
-
.
因为x1,x2∈(-∞,0),所以x1x2>0,又因为x1<x2,所以x2-x1>0,则
>0.
于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
因此函数f(x)=在(-∞,0)上是减函数.
(2)设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,
而f(x2)-f(x1)=(
+x2)-(
+x1)
=(x2-x1)(+x2x1+)+(x2-x1)
=(x2-x1)(+x2x1++1)
=(x2-x1)[(x2+
)2+
+1].
因为(x2+)2++1>0,x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
因此函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
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