2019-2020学年知识讲解_几何证明选讲、参数方程与极坐标

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高考总复习：几何证明选讲、参数方程与极坐标

【考纲要求】

1、相似三角形的判定及有关性质

（1）了解平行线分线段成比例定理。

（2）会证明并应用直角三角形射影定理。

2、直线与圆的位置关系

（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

3、极坐标

（1）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。能进行极坐标和直角坐标的互化；

（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

4、参数方程

（1）了解参数方程，了解参数的意义；

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、相似三角形的判定及有关性质

1．平行线等分线段定理及其推论

（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

（2）推论：

①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

如右图：l₁∥l₂∥l₃_，

2．平行线分线段成比例定理及推论

（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3．相似三角形的判定及性质

（1）相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

（2）相似三角形的判定

①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图，若EF//BC，则⊿AEF∽⊿ABC。

②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

要点诠释：

根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两优秀干等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。

（3）直角三角形相似的判定：

①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。

②定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。

③定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

④定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（4）相似三角形的性质

①相似三角形的性质（一）

（ⅰ）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（ⅱ）相似三角形周长的比等于相似比。

（ⅲ）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

②相似三角形的性质（二）

（ⅰ）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比。

（ⅱ）相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方。

4．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

如图，在Rt⊿ABC中，CD是斜边AB上的高，

则有CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。

考点二、直线与圆的位置关系

1．圆周角定理

（1）圆周角定理及其推论

①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

②推论

（ⅰ）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

（ⅱ）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90⁰的圆周角所对的弦是直径。

（2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

2．圆内接四边形的性质与判定定理

（1）圆内接四边形的性质定理

①定理1：圆内接四边形的对角互补。

②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

（2）圆内接四边形的判定定理及推论

①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3．圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理及推论

（1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

（2）推论：

①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

4．弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。

5．与圆有关的比例线段

圆中的比例线段

定理名称	基本图形	条件	结论	应用
相交弦定理		弦AB、CD相交于圆内点P	（1）PA·PB=PC·PD （2）⊿ACP∽⊿BDP	（1）在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一（2）求弦长及角
割线定理		PAB、PCD是⊙O的割线	（1） PA·PB=PC·PD （2）⊿PAC∽⊿PDB	（1）求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD （2）应用相似求AC、B
切割线定理		PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线	（1）PA²=PB·PC （2）⊿PAB∽⊿PCA	（1）已知PA、PB、PC知二可求一（2）求解AB、AC
切线长定理		PA、PB是⊙O的切线	（1）PA=PB （2）∠OPA=∠OPB	（1）证线段相等，已知PA求PB （2）求角

考点三、极坐标

1．极坐标系

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标

平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对

就叫做点的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；

当时表示极点；

当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。

（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，

, 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：

直角坐标化极坐标：；

极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程：

（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.

（2）过垂直于极轴的直线：

5. 圆的极坐标方程：

（1）以极点为圆心，为半径的圆：.

（2）若，，以为直径的圆：

考点四、参数方程

1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：

，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

考点五、常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

（为参数）；

其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为为常数，）；

其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程

（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5. 抛物线的参数方程

抛物线()的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：

（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；

（2）摆线的参数方程（是参数）。

要点诠释：

1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

经典例题精析

类型一、相似三角形的判定及有关性质

【例1】已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．

求证：

【思路点拨】作AE⊥BC，证明△AEC和△BDC相似即可．

【解析】　过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∴CE＝BE＝BC，由BD⊥AC，AE⊥BC.

又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC.

∴，∴，

即

【总结升华】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．除了平行，还可利用“两角对应相等”、“两边对应成比例及夹角相等”、“三边对应成比例”这三个判定定理。

举一反三：

【变式】如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的

中点，ED交AB的延长线于F.求证：

证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°.

∴∠1＝∠C.

∴△ABD∽△CAD，

∴

又∵E是AC的中点，

∴DE＝EC，

∴∠3＝∠C.

又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4.

又有∠F＝∠F，

∴△FBD∽△FDA.

∴∴.

【例2】如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90⁰，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD³=BC·BE·CF。

【思路点拨】多次利用射影定理，找出AD、BC、BE、CF关系即可。

【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90⁰，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD²=BE·AB，

同理CD²=CF·AC，∴BD²·CD²= BE·AB·CF·AC ①

又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD²=BD·DC ②

由①②得AD⁴= BD²·CD² =BE·AB·CF·AC= BE·AB·AD·BC

∴AD³=BC·BE·CF

【总结升华】题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键。

举一反三：

【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，

CD＝6，E为AB的中点，AD∶DB＝2∶3，求AC及CE.

【解析】

设AD＝2t，DB＝3t，

由射影定理得CD²＝AD·DB，

∴6²＝2t·3t，

∴t＝(t＝－舍去)，

∴AD＝2，DB＝3，

所以斜边AB＝AD＋DB＝2＋3＝5

故CE＝2(1)AB＝2(5).

再由射影定理得

AC²＝AD·AB＝2·5＝60

∴AC＝2.

类型二、直线与圆的位置关系

【例3】如图,是圆的直径,为圆上位于异侧的两点,连结并延长至点,使,连结.

求证:.

【思路点拨】要证,就得找一个中间量代换,一方面考虑到是同弧所对圆周角,相等;另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线,从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到.从而得证.

本题还可连接,利用三角形中位线来求证.

【解析】证明:连接.

∵是圆的直径,∴(直径所对的圆周角是直角).

∴(垂直的定义).

又∵,∴是线段的中垂线(线段的中垂线定义).

∴(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等).

∴(等腰三角形等边对等角的性质).

又∵为圆上位于异侧的两点,

∴(同弧所对圆周角相等).

∴(等量代换).

【总结升华】本题主要考查圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质.

举一反三：

【变式】如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.

【答案】

【解析】连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.

又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝.

又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝.

【例4】如图，已知AP是⊙的切线，P为切点，AC是⊙的割线，与⊙交于B，C两点，圆心在∠PAC的内部，点M是BC的中点。

（1）证明：A，P，，M四点共圆；

（2）求∠OAM+∠APM的大小。

【思路点拨】要证A、P、、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出∠OAM+∠APM的大小。

【解析】（1）连接OP，OM，

因为AP与⊙相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=180⁰。由圆心在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。

由（1）得A，P，，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，由圆心在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90⁰，所以∠OPM+∠APM=90⁰。

   举一反三：

【变式】已知AB是⊙的直径，BC是⊙的切线，切点为B，OC平行于弦AD（如图）。求证：DC是⊙的切线。

【解析】连接OD。

∵OA=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4。又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC。∵BC是⊙的切线，∴∠OBC=90⁰，∴∠ODC=90⁰，∴DC是⊙的切线。

类型三、极坐标方程与直角坐标方程

【例5】在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，

【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。

【解析】它们依次是或；；（）.

示意图如下：

【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。

举一反三：

【变式】已知点，则点

　　（1）关于对称点的坐标是_______，

　　（2）关于直线的对称点的坐标为________  。

【答案】(1) 由图知：,，所以；

　　   (2) 直线即，所以或（）

【例6】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

  (1) ；　　　　(2) ；

(3) ；　　　　(4) .

【思路点拨】依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。

【解析】

（1）方程变形为,

∴或，即或，

故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得,即，

故原方程表示直线。

(3) 变形为, 即，

整理得，

故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。

（4）变形为,

∴,即,

故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。

【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。

举一反三：

【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.

(1)；   　     (2), 其中；

(3)   　  　  (4)

【答案】：

(1)∵ ，∴即,

故原方程表示是圆.

(2)∵, ∴，

    ∴，∴或，

∴或

故原方程表示圆和直线.

(3)由，得即，整理得

    故原方程表示抛物线.

(4) 由得,

∴，即

故原方程表示圆.

【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.

【答案】将代入方程得.

例7（2015 河南高考）在直角坐标系xOy中，直线C₁：x=﹣2，

圆C₂：（x﹣1）²+（y﹣2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C₁，C₂的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C₃的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C₂与C₃的交点为M，N，求△C₂MN的面积．

【思路点拨】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C₁，C₂的极坐标方程．

（Ⅱ）把直线C₃的极坐标方程代入ρ²﹣3ρ+4=0，求得ρ₁和ρ₂的值，结合圆的半径可得C₂M⊥C₂N，从而求得△C₂MN的面积•C₂M•C₂N的值.

【解析】（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C₁：x=﹣2 的

极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，

故C₂：（x﹣1）²+（y﹣2）²=1的极坐标方程为：

（ρcosθ﹣1）²+（ρsinθ﹣2）²=1，

化简可得ρ²﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．

（Ⅱ）把直线C₃的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入

ρ²﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ₁=2，ρ₂=，

∴|MN|=ρ₁﹣ρ₂=，由于圆C₂的半径为1，∴C₂M⊥C₂N，

△C₂MN的面积为•C₂M•C₂N=．

【总结升华】对于极坐标问题，如果对其几何意义理解不够，我们可以将其转化为直角坐标方程去解决.也可以根据参数的几何意义直接求解.

举一反三：

【变式1】(2015 陕西高考)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.

写出的直角坐标方程.
为直线上的动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.

【解析】(1)由的极坐标方程为

即配方得
设，又

因此当时，取得最小值.此时.

【变式2】解下列各题

（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_____，平行于极轴的切线方程为_____；

（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；

（3）极坐标系中圆的圆心为________。

【答案】（1）（方法一）

设在圆上，则，，，，

    由余弦定理得

    即，为圆的极坐标方程。

    其平行于极轴的切线方程为和。

  （方法二）圆心的直角坐标为，

则符合条件的圆方程为，

∴圆的极坐标方程：

整理得，即.

又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，

即和

（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.

（方法二）圆即的圆心为，

圆即的圆心为，

∴两圆圆心距为.

（3）（方法一）令得，∴圆心为。

（方法二）圆即的圆心为，即.

类型四、参数方程与普通方程互化

【例8】把参数方程化为普通方程

(1) (，为参数)；（2） (，为参数）；

（3）　(,为参数)；        （4） (为参数).

【思路点拨】

（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；

（2）利用三角恒等式进行消参；

（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；

（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。

【解析】（1）∵，把代入得；

又∵ ,, ∴,,

∴ 所求方程为：(,)

(2)∵,把代入得.

又∵，

∴ ,. ∴ 所求方程为(,).

(3) （法一）：,

又，,

∴ 所求方程为(,).

（法二）：由得,代入,

∴（余略）.

(4) 由得, ∴,由得,

当时，；当时，，从而.

法一:，

即（），故所求方程为（）

法二: 由得，代入得，即

∴再将代入得，化简得.

【总结升华】

1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。

2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.

举一反三：

【变式1】化参数方程为普通方程。

（1）(t为参数) ；       （2）（t为参数）.

【答案】：（1）由得，代入化简得.

∵, ∴,.

故所求方程为（，）

（2）两个式子相除得，代入得，即.

∵ ，故所求方程为().

【变式2】（1）圆的半径为_________ ；

（2）参数方程(表示的曲线为（   ）。

    A、双曲线一支，且过点       B、抛物线的一部分，且过点

C、双曲线一支，且过点      D、抛物线的一部分，且过点

【答案】：

（1）

　其中，，∴ 半径为5。

（2），且，因而选B。

【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（）。

A、      　 B、        C、       D、

（2）为锐角，直线的倾斜角（　　）。

    A、        B、         C、        D、

【答案】：

（1），相除得，∴倾斜角为，选C。

（2），相除得，

∵，∴ 倾角为，选C。

【例9】已知曲线的参数方程（、为常数）。

    （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；

    （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。

【思路点拨】通过消参，化为普通方程，再做判断。

【解析】（1）方程可变形为（为参数，为常数）

取两式的平方和，得

    　　曲线是以为圆心，为半径的圆。

   （2）方程变形为（为参数，为常数）,

两式相除，可得，即,

曲线是过点且斜率的直线。

【总结升华】从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。

类型五、参数方程与极坐标的综合应用

【例10】椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.

【思路点拨】由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。

【解析】设椭圆上第一象限的点，则

当且仅当时，取最大值，此时点.

【总结升华】利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。

举一反三：

【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。

【答案】：设到的距离为，则

    ，

    （当且仅当即时取等号）。

∴点到直线的最小距离为，此时点，即。

【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.

【答案】：已知圆方程为，

设其参数方程为（）

则圆上的点到直线的距离为

，即

∴或

又，∴，从而满足要求的点一共有三个.

【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.

【答案】：（1）由已知，

设圆的参数方程为（为参数）

∴

∵，∴

（2）

∵，∴.

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