2019-2020学年高中数学必修知识讲学
专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．【2015-2016学年贵州省凯里一中高一下期中】不等式组
，表示的平面区域为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式
表示的平面区域为直线
的左下方部分，不等式
所表示的平面区域为直线
的左上方部分，所以不等式组所表示的平面区域为选项B所表示的区域，故选B.2．设x，y满足约束条件
则z＝2x＋y的最小值是（ ）
A．－15 B．－9 C．1 D．9
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的可行域，
结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值
zmin＝－12－3＝－15.
故选：A3．【广西玉林市2018-2019学年高一上学期期末】若实数
，
满足约束条件
则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的几何意义为点
与点
所在直线的斜率．
画出如图的可行域，当直线
经过点
时，
；当直线经过点
时，
．
的取值范围为,故选A.
4．【江西省景德镇一中2018-2019学年高一上学期期末】设，满足约束条件
，则
的最小值与最大值分别为（ ）
A．
，
B．2， C．4，34 D．2，34
【答案】D
【解析】
由，满足约束条件表示的可行域如图，
由
，解得
．
的几何意义是点
到坐标原点的距离的平方，
所以的最大值为
，
的最小值为：原点到直线
的距离
．
故选：D．5．【广西百色市2017-2018学年高一下学期期末】若变量
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由约束条件
得如图所示的三角形区域，
由
可得
，
，将
变形为
，
平移直线，
由图可知当直经过点
时，
直线在轴上的截距最小，最大，
最大值为
，故选C.6．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组
表示一个三角形内部的区域，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
不等式组
表示的平面区域如图：
由图可知，
，解得x=y=
，
即A（，），
则a＜+=
实数a的取值范围是a＜．
故选：D．7．【天津市部分区2019届高三联考一模】设变量满足约束条件
，则目标函数
的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
画出约束条件，表示的可行域，如图，
由
可得
，
将变形为
，
平移直线，
由图可知当直经过点
时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为
，故选B.8．【安徽省池州市2018-2019学年高一下学期期末】已知实数满足
，则
的最大值是
A．
B．
C．3 D．5
【答案】C
【解析】
由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示，
表示三角形
阴影部分区域（含边界），
设直线
，平移直线
时，目标函数取得最大值，
又由
，解得
，
此时目标函数的最大值为
.
故选C.
9．若实数满足不等式
，且
的最大值为9，则实数
（ ）
A．
B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9，
显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．
联立方程组
解得
即点A（4，5）在直线x-my+1=0上，
∴4-5m+1=0，得m=1．
故答案为1．10．【福建省三明市2017-2018学年高一下学期期末】已知满足约束条件
且不等式
恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，可行域内的点恒满足
，
则不等式
即
恒成立，
即
，令
可知：
恒成立，即
恒成立.
其中
表示坐标原点与可行域内点连线的斜率，如图所示，在点A和点C处目标函数取得最值，据此可知：
.
结合对勾函数的性质可知，当
时，
取得最小值，此时
，即
取得最大值，最大值为：
，
结合恒成立的条件可知：实数的取值范围为
.
.
11．【江西省樟树中学2017-2018学年人教A版高一下学期第一次月考】点
在圆
上运动，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
点为圆上的点，如图所示，设直线
与圆相切，
则圆心
到直线
的距离为，即：
，
据此可得：
，
当
时，目标函数的值为
，否则：
目标函数：
，
令，则
，
结合对勾函数的性质可得：
，
结合反比例函数的性质可得目标函数的取值范围是
，
综上可得，目标函数的取值范围是
.
本题选择D选项.12．【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期末】已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．8 B．2
C．4 D．6
【答案】D
【解析】
设
，
，
均在圆
上，且
，设
的中点为
，则点到原点的距离为
，
点在圆
上，设
到直线
的距离分别为
，
，
，
.
13．已知变量满足条件
，若目标函数
仅在点（3，3）处取得最小值，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
变量满足的条件
对应的平面区域如图所示：因为目标函数z＝x+y，
仅在（3，3）处取得最小值，所以目标函数z＝x+y的位置应如图所示，故其斜率需满足 k＝﹣＞1⇒＜﹣1．
故答案为＜﹣1．
14．【安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】不等式组
所表示的平面区域的面积等于
，则
__________．
【答案】1
【解析】
∵不等式组
所表示的平面区域三角形，如图：
平面为三角形所以过点（2，0），
∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（
，0），
y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（
），
三角形的面积为：
=，
解得：k=1．
故答案为：1．15．【河南省安阳一中、安阳正一中学2018届高三第十一次模拟】已知满足条件
，若目标函数
取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为__________．
【答案】
或.
【解析】
画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示
将
转化为
，所以目标函数代表直线在轴上的截距
若目标函数取得最大值的最优解不唯一
则直线应与直线
或
平行，如图中虚线所示
又直线和的斜率分别为和
所以
或
故答案为：或.
16．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若满足约束条件
，
的最小值为，则________．
【答案】4
【解析】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
取最小值时，即
在轴截距最小
平移直线
可知，当过
点时，在轴截距最小
由
得：
，解得：
本题正确结果：17．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本
元，运费
元，可生产产品
；若采用乙种原料，每吨成本
元，运费
元，可生产产品
.若每日预算总成本不得超过
元，运费不得超过
元，则此工厂每日最多可生产多少千克产品？
【答案】
【解析】
设工厂每日需用甲原料吨，乙原料吨，可生产产品千克，
根据题意可知，变量、所满足的约束条件为
，
即
，
目标函数为
，作直线
，
作一组直线
平行的直线
，
当直线
经过点
时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即
.
答：工厂每日最多生产
千克产品.18．已知实数、满足
，当
时，求
的最值.
【答案】当
时，
，
；
当
时，
，.
【解析】
①当时，如下图所示：
平移直线，当该直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即
，当该直线经过点
时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；
②当时，平移直线，当该直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，当该直线经过点
时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.
综上所述：当时，，；
当时，，.
19．已知x,y满足约束条件
当3≤s≤5时,求目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围.
【答案】
【解析】
由
可得
可化为
.
当
时，作出可行域，如图①中阴影部分所示，
图①
其中
，
，
，易知当直线经过
点时，取得最大值，
，
.
当
时，作出可行域，如图②中阴影部分所示，其中，
，
图②
易知当直线经过点时，取到最大值，
.综上所述，.20．若，满足约束条件
.
（1）求目标函数
的最值；
（2）求目标函数
的最值.
【答案】（1）最大值为4，最小值为0；（2）最大值为
，最小值为
。
【解析】
画出约束条件
表示的可行域如图所示，
（1）
的几何意义为可行域内的点到直线
的距离的
倍.
由
解得
.
由图可知，的最大值为点到直线的距离的倍，即为4；
易知最小值为0.
（2）的几何意义为可行域内的点到点
的距离的平方.
由图可知，点到点的距离的平方即为最大值，为
；
最小值是点到直线
的距离的平方，为
.
所以的最大值为，最小值为.21．【吉林省长春外国语学校2016-2017学年高一下学期期末】已知不等式组
,
求此不等式组表示的平面区域的面积；
求
的最大值；
求
的取值范围.
【答案】（1）36；（2）15；（3）
.
【解析】
作出平面区域如图．
交点
，
(1)
.
(2)由,得
,由图可知当直线过点
时，截距最小，即最大，此时
.
(3)可以看作
和
两点间的斜率，故其范围是.22．【吉林省长春外国语学校2016-2017学年高一下学期期末】已知不等式组,
求此不等式组表示的平面区域的面积；
求的最大值；
求的取值范围.
【答案】（1）36；（2）15；（3）.
【解析】
作出平面区域如图．
交点，
(1).
(2)由,得,由图可知当直线过点时，截距最小，即最大，此时.
(3)可以看作和两点间的斜率，故其范围是.
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