2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题06等差数列的前n项和
【知识导图】
【目标导航】
1.体会等差数列的前n项和公式的推导过程；
2．记住等差数列的前n项和公式，熟练等差数列前n项和公式的计算；
3．会用等差数列前n项和公式解决一些简单的等差数列前n项和问题；
4．会求等差数列前n项和最值.
5.记住等差数列前n项和的性质，并会利用性质解答有关问题；
6．会求等差数列各项绝对值的和.
【重难点精讲】
重点一、等差数列的前n项和公式
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则前n项和Sn＝()2(na1＋an)＝na1＋2(1)n(n－1)d.
重点二、等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}的前k项和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为k2d的等差数列．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，则{n(Sn)}也是等差数列.
重点三、等差数列的前n项和Sn＝na1＋()2(nn－1)d可以改写成：Sn＝2(d)n2＋(a1－2(d))n.当 d≠0时，Sn是关于n的二次函数，所以可借助二次函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．
重点四、在等差数列{an}中，a1>0，d<0.则Sn存在最大值；a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
【典题精练】
考点1、等差数列的前n项和公式的应用
例1．【贵州省遵义市凤冈二中2018-2019学年高一下学期第一次月考】已知
是一个等差数列且
．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和
．
【答案】(1)
; (2) 
【解析】
(1)设等差数列的首项为
，公差为
.
由有：
.
解得：
,则.
所以的通项公式.
(2)由等差数列的前
项和公式有：
.
所以的前n项和.考点点睛：a1，d，n是等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，通过通项公式和前n项和公式建立方程(组)来求解．
考点2、等差数列前n项和性质的应用
例2．【贵州省贵阳市第一中学2017-2018学年高一下学期第一次月考】已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
，则使得
为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则
.
所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C.考点点睛：求解与等差数列的前n项和有关问题时，注意利用前n项和的性质以简化运算过程．
考点3、实际应用问题
例3．【福建省厦门外国语学校2018-2019学年高一下学期第一次月考】某企业2017年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不能进行技术改造，预测从2018年起每年比上一年纯利润减少20万元，2018年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（以2018年为第一年）的利润为
万元（为正整数）.
（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
万元，进行技术改造后的累计纯利润为
万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式；
（2）依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】（1）
；（2）4.
【解析】
. 
.
（2）令
,
设
在
单调递增,
，
,
所以当
时
,
即经过4年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润 .考点点睛：解答数列的实际应用问题时，要注意依据题设条件建立数列模型，辨清“通项”，还是“前n项和”，要特别注意项数和第几项．
考点4、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an的步骤
例4．数列
的前n项的和
，则
= ___ .
【答案】
【解析】
因为
，
当n=1时，则
当n
2时，则
验证当n=1不适合上式，因此得到=考点点睛：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝((Sn－Sn－1n≥2)(S1n＝1)).
考点5、等差数列的最值问题
例5．设等差数列的前项和为，已知
，
，
.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出
中哪一个值最大，并说明理由.
【答案】（1）
；（2）
最大.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，首项为，则
，
由，，可得
，即
，
，
故公差的取值范围为；
（2）因为，所以
，所以
，
因为，所以
，所以
，由上可得
，
又
，所以数列为递减数列，
故中最大.考点点睛：讨论等差数列前n项和的最值的方法：(一)已知通项时，由an≥0(或an≤0)探求；(二)已知前n项和时，用配方法探求(注意n∈N*)；(三)已知Sn＝Sm时，借助二次函数性质探求．
考点6、含绝对值的数列的前n项和
例6．【陕西省西安交通大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中】在等差数列中，
，
，其前项和为．
（
）求的最小值．
（
）求出
时的最大值．
（
）求
．
【答案】(1) 取最小值
．
(2)
.
(3)
.
【解析】
（）设等差数列
的首项为，公差为，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，解得
，
∴
，
∴当
或
时，取最小值．
（）∵
，
∴
，
∴的最大值为．
（）∵，
，
∴
，
由
，得
，
∵
，
，
∴数列中，前
项小于
，第
项等于，以后各项均为正数，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
．
考点点睛：已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和，①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)．
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加．
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