1.某工厂需要建一个面积为
平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽分别为( )
A. 
米, 
米 B. 
米, 
米 C. 
米, 
米 D. 
米, 
米
【答案】A
【解析】设宽为
,长为
,则
,
用料为
(当且仅当
时取等号),
所以
.长为
.
2.用边长为
的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转
角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】设水箱底边长为
,则水箱高
.水箱容积
令
,得
(舍去)或
.可判断得
时, 
取最大值为
3.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
【答案】A
【解析】设底面边长为x，高为h，则
，
所以
，所以表面积
，
所以
.令
，解得
，所以
.
4.若一球的半径为
,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】如图,设内接圆柱的底面半径为
,母线长为
,则
,
∴ 
.
∴
,
得
,∴当,即
时,
最大,且最大值为.
5.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并，以高乘之，六而一。”其计算方法是:将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设下底面的长为
，则下底面的宽为
.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,
所以其体积
，故当
时，体积取得最大值，最大值为
，故选B。
6.已知轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶.如果两船同时起航,那么经过 小时两船相距最近.
【答案】5
【解析】设经过x小时两船相距y海里,y2=36x2+(75-12x)2,令(y2)'=72x-24(75-12x)=0,解得x=5.易知当x=5时,y2取得最小值.
7.一个帐篷,它下部的形状是高为
的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为
的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点
到底面中心
的距离为__________m时,帐篷的体积最大.
【答案】2
【解析】设
为
,底面正六边形的面积为
,帐篷的体积为
. 则由题设可得正六棱锥底面边长为
,
于是底面正六边形的面积为
帐篷的体积为
令
,解得
或
(不合题意,舍去).
当
时, 
;当
时, 
.所以当时, 最大.
8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为
和
,其中为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为__________万元.
【答案】45.6
【解析】依题意,可设甲销售 (
)辆,则乙销售(
)辆,
∴总利润
.根据二次函数图象和
,可知当
时,获得最大利润
万元.
9.某厂生产件产品的总成本为
万元,产品单价为
万元,且满足
,则当
__________时,总利润最高.
【答案】25
【解析】设总利润为
万元,则由题意得
.由
,得
.令
,得
;令
,得
,得在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,所以当时,总利润最高.
10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为
万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当
米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
【解析】(1)设需新建
个桥墩,则
,即
.
∴
(2)由(1),知
.
令
,得
,解得
.
当
时,
在区间
上为减函数;
当
时,
在区间
上为增函数.
∴
在处取得极小值,也是最小值,此时
.
∴需新建9个桥墩才能使y最小.
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