中考必做的36道压轴题及变式训练
第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”
例1在平面直角坐标系
O
中，抛物线
（
）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线
与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在
这一段位于直线的上方，并且在
这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
解：（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 .
∴ A（0，－2）．
抛物线对称轴为 x＝
，
∴ B（1，0）．
（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，－2）
则直线 l 经过 A 、 B .
没直线的解析式为 y＝kx＋b
则
解得
∴直线的解析式为 y＝－2x ＋2．
（3）∵抛物线对称轴为 x ＝1
抛物体在 2 <x<3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x<0 这一段位于直线 l 的下方．
∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ；
当 x＝－1 时， y＝－2x(－1)＋2 ＝4
则抛物线过点（－1，4）
当 x＝－1 时， m＋2m －2＝4 ， m＝2
∴抛物线解析为 y＝2x2 －4x－2 .
已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.
【答案】（1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.
因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.
所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根.
所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. ………3分
（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－
）2－
，
所以，点C的坐标为（，－）.
当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1.
当△ABC的面积等于1时，
×1×
＝1.
所以×1×（－）＝1，或×1×＝1.
所以a＝－8，或a＝8.
②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，am2＋am）.
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
×1×＝×1×
×1×（－）=×1×（am2＋am），或×1×=×1×（am2＋am）.
所以m＝－，或m＝
，或m＝
.………9分
变式: 已知二次函数
在
和
时的函数值相等。
求二次函数的解析式；
设二次函数的图象与
轴交于点
（点
在点
的左侧），将二次函数的图象在
点间的部分（含点和点）向左平移
个单位后得到的图象记为
，同时将（2）中得到的直线
向上平移
个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象
有公共点时，的取值范围。
【答案】（1）
①方法一：∵二次函数在和时的函数值相等
∴
.
∴
.
∴这个二次函数的解析式是
②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为
则
∴.
∴这个二次函数的解析式是.
（2）∵二次函数的图象过
点.
∴
.
又∵一次函数的图象经过点
∴
∴
（3）令
解得：
由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为
，（
）.
则向左平移后得到图象G的解析式为：
，（
）.
此时平移后的一次函数的解析式为
.
若平移后的直线与平移后的抛物线相切.
则
有两个相等的实数根。
即一元二次方程
有两个相等的实数的根。
∴判别式=
解得：
与
矛盾.
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切.
∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为
和
.
则
，解得：
，解得：
∴
第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破
（例题） 如图，抛物线
的图象与轴交于
、
两点，与轴交于
点，已知点坐标为
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究
的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点
是线段
下方的抛物线上一点，求
的面积的最大值，并求出此时点的坐标.
【答案】解：（1）将B（4，0）代入中，得：
∴抛物线的解析式为：
（2）∵当
时，解得
，
∴A点坐标为（－1，0），则OA=1
∵当x=0时，
∴C点坐标为（0,－2），则OC=2
在Rt⊿AOC与Rt⊿COB中，
∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB
∴∠ACO=∠CBO
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°
那么⊿ABC为直角三角形
所以⊿ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（1.5，0）
（3）连接OM.设M点坐标为（x，
）
则
=
=
∴当x=2时，⊿MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，－3）
变式面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”
（例题）23．如图，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线
交于A、B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（
不与A、B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及
的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含
的代数式表示线段PD的长，
并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成
两个三角形，是否存在适合的值，
使这两个三角形的面积之比为9:10?
若存在，直接写出值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）由
，得
∴
由
，得
∴
∵
经过
两点，∴
∴
设直线AB与轴交于点
，则
∵
∥轴，∴
.
∴
（2）由⑴可知抛物线的解析式为
∴
在
中，
∵
∴当
时，
有最大值
②存在满足条件的值，
【提示】
分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
在
中，
又
∴
．
当
时，解得
；
当
时，解得
．
变式一27．已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．
（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2.
当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.
（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，
当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，
变式二如图，已知抛物线
的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为
，△ABN的面积为
，且
，求点P的坐标.
【答案】解：（1）设直线BC的解析式为
，将B（5，0），C（0，5）代入有：
解得：
所以直线BC的解析式为
再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线有：
解得：
所以抛物线的解析式为：
（2）设M的坐标为（x，
），则N的坐标为（x，
），
MN=
=
当
时，MN有最大值为
（3）当
时，解得
，
故A（1,0），B（5,0），所以AB=4
由（2）可知，N的坐标为（
，）
∴
则
，那么
在y上取点Q (-1，0)，可得
故QP∥BC
则直线QP的解析式为
当
时，解得
，
所以P点坐标为（2，
），（
，
），
第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”
（例题）
抛物线
的顶点在直线
上，过点F
的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥轴于点A，NB⊥轴于点B．
（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；
（2）(3分)设点N的横坐标为
，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（3）(3分)若射线NM交轴于点P，且PA×PB＝
，求点M的坐标．
答案：解（1）
∴顶点坐标为(－2 , 
)
∵顶点在直线上，
∴－2+3=，得=2
（2）∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为
即点N(,)
过点F作FC⊥NB于点C，
在Rt△FCN中，FC=+2，NC=NB-CB=
,∴
＝
＝
=
而
=
＝
∴＝，NF=NB
（3）连结AF、BF
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥轴，NB⊥轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,
∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA
又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴
，
=
过点F作FG⊥轴于点G,在Rt△PFG中，PG=
=
，∴PO=PG+GO=
，
∴P(－ , 0)
设直线PF：
，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入解得
=
，
=
，∴直线PF：
解方程
，得=－3或=2（不合题意，舍去）
当=－3时，=
，∴M（－3 ,）
变式一25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y= 作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1，)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．
解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，
可得-
=1，
=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，
故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m，），
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-）2=（m-1）2+（-）2
∴-m2+2m-=
或-m2+2m-=-，
①当-m2+2m-=
时，即-4m2+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m2+2m-=-时，即m2-2m=-
∴m=1+
或m=1-
Ⅰ、当m=1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）
Ⅱ、当m=1-时，P点的坐标为（1-，），M点的坐标为（1-，），
经过计算可知PF=PM，
∴△MPF为正三角形，
∴P点坐标为：（1+，）或（1-，）．
（3）当t=时，即N与F重合时PM=PN恒成立．
证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，
在Rt△PNH中，
PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，
PM2=（-y）2=y2-y+
，
P是抛物线上的点，
∴y=-x2+2x；
∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，
∴1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，
移项，合并同类项得：-
y+2ty+
-t2=0，
∴y（2t-）+（-t2）=0对任意y恒成立．
∴2t-=0且-t2=0，
∴t=，故t=时，PM=PN恒成立．
∴存在这样的点．
变式二如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A（
，0）、B（2，0）、C（0，
）三点，过坐标原点O的直线
与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，）作平行于x轴的直线l1、l2．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为
，
由
，解得
．
所以
．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上，
所以
，
，所以
；
又
=
=
=
，
所以ON=
，又因为y2≥，
所以ON=
．
设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F，
则EF=
=
，
所以ON=2EF，
即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与直线l1相切．
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则
=
+
，
又y1=kx1，y2=kx2，所以=
，
所以
；
又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，
所以
，即
，
所以x =
=2k±
，
所以=
，
所以
，
所以MN=
．
延长NP交l2于点Q，过点M作MS⊥l2于点S，
则MS + NQ = 
=
=
，
又
=
，
所以MS + NQ =
==MN．
即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向
例题如图，二次函数
的图象交x轴于A（－1，0），B(2，0)，交y轴于C（0，－2），过A，C画直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在x轴正半轴上，且PA =PC，求OP的长；
(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H
①若M在y轴右侧，且△CHM ∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若 M的半径为
，求点M的坐标．
【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：
将x=0，y=－2代入，得－2= a(0+1)(0－2)
解得a=1．
∴抛物线的解析式为
，即
．
(2)设OP =x，则 PC=PA =x +1．
在Rt△POC中，由勾股定理，得
解得
，即
．
(3)① ∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO．
情形1：如图，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴
，∴
，
解得x=0（舍去），或x=1， M(1，－2)．
情形2：如图，当H在点C上方时
∵∠M’CH=∠CAO，由(2)：得，M’为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM’的解析式为y=kx－2．
把P（，0）的坐标代入，得
，
解得
，∴
．
由
，
解得x=0（舍去），或x＝
，
此时
，∴
．
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，使DE＝
．
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△ADE∽△AOC，∴
，
∴
，解得AD=2．
∴D(1，0)或D（－3，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M．
则直线DM的解析式为：
或
．
当－ 2x －6= x2 －x－2时，方程无实数解．
当－ 2x+2＝x2 －x－2时，
解得
．
∴点M的坐标为M
或M
变式一25．如图，抛物线y=
x2+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E
，与x轴相交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r= ，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（
，
），对称轴x=．
变式二22．如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长；
(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留
).
【答案】(1)当y=0时，
，解得x1=－3，x2=6.∴AB=|x1－x2|=|－3－6|=9.
当x=0时，y=－9.∴OC=9.
(2)由(1)得A(－3,0)，B(6,0)，C(0,－9)，
∴直线BC的解析式为y=x－9，直线AC的解析式为y=－3x－9.
∵AE的长为m，∴E(m－3,0).
又∵直线l平行于直线BC，∴直线l的解析式为y=x－
.
由
得
，∴点D(
,－m).
∴△ADE 的面积为：S=·AE·|D纵|=·(m－3)·|－m|=
.(0＜m＜9)
(3)△CDE面积为：S△ACE－S△ADE=
－()=
=
，
∴当m=3时，△CDE面积的最大值为
.
此时，点E(0,0).如图，作OF⊥BC于F，∵OB=6，OC=9，
∴OF=
=
=
.
∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为：
.
第6题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质
例题已知抛物线
经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C。
（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。
【答案】（1）
（2）若∠PAB=90°，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。
图（1）
易得△APE∽△BAF,且△BAF为等腰直角三角形，∴△APE为等腰直角三角形。
设PE=a，则P点的坐标为（a，a－3）代入解析式
3-a=
解得a=0，或a=3（与A重合舍去）
∴P（0,3）
若∠PBA=90°，如下图，直线与x轴交与点D, 分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。
由图可得△PED、△BAD为等腰直角三角形，设PE=a，则DE=a，AB=
,所以AD=2，则P点坐标为（5－a，a）代入解析式，
解得，a=1，或a=6 （与B重合）是
所以P点坐标（－1,6）
综上所述P（0,3）或P（－1,6）
（3）由题意得，∠CAO=∠OAF=45°
利用同弧所对的圆周角相等，∠OEF=∠OAF=45°
∠EFO=∠EAO=45°
∴△EOF为等腰直角三角形，S△EOF=
。
∴当OE最小时，面积最小。即E为AC中点（
变式一如图，在平面直角坐标系
中，把抛物线
向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线
.所得抛物线与轴交于
两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为
.
（1）写出
的值；
（2）判断
的形状，并说明理由；
（3）在线段
上是否存在点，使
∽
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）
的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴ 
.
（2）由（1）得
.
当
时，
． 解之，得 
．
∴ 
.
又当
时，
，
∴C点坐标为
.……………………………………………………………………4分
又抛物线顶点坐标
，作抛物线的对称轴
交轴于点E， 
轴于点
．易知
在
中，
；
在
中，
；
在
中，
；
∴ 
．
∴ △ACD是直角三角形．
（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点．
由（2）知，
为等腰直角三角形，
，
．
由
，得
．
即
.
过点作
于点
，则
，
.
又点M在第三象限，所以
.
变式二如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.
【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,
∵∠C=∠B=600
∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,
由已知，点M是BC的中点，
BM=CM=AD=AB=CD,
即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.
（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600
∴∠BME=∠AMF）
在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600
∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)
∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF.
∵MF的最小值为点M到AD的距离
，即EF的最小值是.
⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
⊿AEF的周长的最小值为2+.
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